高中物理专题复习
动量及动量守恒定律
一、动量守恒定律的应用 1.碰撞
v1 v v1/
v2/
A A B A B A B Ⅰ Ⅱ Ⅲ 两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。由于作用时间极短，一般都满足内力远大于外力，所以可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。
仔细分析一下碰撞的全过程：设光滑水平面上，质量为m1的物体A以速度v1向质量为m2的静止物体B运动，B的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置A、B刚好接触，弹簧开始被压缩，A开始减速，B开始加速；到Ⅱ位置A、B速度刚好相等（设为v），弹簧被压缩到最短；再往后A、B开始远离，
?和v2?。全过弹簧开始恢复原长，到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A、B分开，这时A、B的速度分别为v1程系统动量一定是守恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。
⑴弹簧是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹
m?m2性碰撞。由动量守恒和能量守恒可以证明A、B的最终速度分别为：??1??v1v1,v2m1?m22m1 v1。
m1?m2 ⑵弹簧不是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一部分转化为弹性势能，一部分转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，弹性势能仍最大，但比⑴小；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少，部分转化为动能，
部分转化为内能；因为全过程系统动能有损失（一部分动能转化为内能）。这种碰撞叫非弹性碰撞。 ⑶弹簧完全没有弹性。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，但没有弹性势能；由于没有弹性，A、B不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。这种碰撞叫完全非弹性碰撞。可以证明，A、B最终的共同速度为v1??v2??m1v1。在完全非弹性碰撞过程中，m1?m2m1m2v121122系统的动能损失最大，为：?Ek?m1v1??m1?m2?v??。
222?m1?m2?例1. 质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m的小球以速度v1向物块运动。不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v。 解：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。
v1 在小球上升过程中，由水平方向系统动量守恒得：mv1??M?m?v?
11由系统机械能守恒得：2mv12?2?M?m?v?2?mgH
2Mv1解得H?2?M?m?g
全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得v?2mv M?m1本题和上面分析的弹性碰撞基本相同，唯一的不同点仅在于重力势能代替了弹性势能。
2.子弹打木块类问题
子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。
例2. 设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。 解： 子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒： mv0??M?m?v
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，如图所示，显然有s1-s2=d
对子弹用动能定理：f?s1?1mv02?1mv2 ……①
22v0 s2 d s1 v 对木块用动能定理：f?s2?21Mv2 ……② 22Mm2 ……③ v02?M?m?12①、②相减得：f?d?1mv0??M?m?v2?由上式不难求得平均阻力的大小：f?2Mmv02?M?m?d
md M?m至于木块前进的距离s2，可以由以上②、③相比得出：s2?3.反冲问题
在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其它形式的能向动能转化。可以把这类问题统称为反冲。
例3. 质量为m的人站在质量为M、长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？
解：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动量始终为零，所以人、船
l2 l1 动量大小始终相等。从图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。设人、船位移大小分别为l1、l2，则：mv1=Mv2，两边同乘时间t，ml1=Ml2，而l1+l2=L，∴l2?mL M?m例4. 总质量为M的火箭模型 从飞机上释放时的速度为v0，速度方向水平。火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？
解：火箭喷出燃气前后系统动量守恒。喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m，以v0方向为正方向，
Mv0??mu??M?m?v?,v??Mv0?mu
M?m二、动量与能量
1.动量与动能
动量和能量都与物体的某一运动状态相对应，都与物体的质量和速度有关.但它们存在明显的不同：动量的大小与速度成正比p?mv；动能的大小与速度的平方成正比Ek?12mv。两者的关系：2p2?2mEk。动量是矢量而动能是标量。物体的动量发生变化时，动能不一定变化；但物体的动能一旦发生变化，则动量必发生变化. 2.动量定理与动能定理
动量定理：物体动量的变化量等于物体所受合外力的冲量.?p?I，冲量I?FS是力对时间的积累效应。动能定理：物体动能的变化量等于外力对物体所做的功.?Ek?W，功W?FS是力对空间的积累效应.
3.动量守恒定律与机械能守恒定律
动量守恒定律与机械能守恒定律所研究的对象都是相互作用的物体系统，且研究的都是某一物理过程。动量守恒定律的内容是：一个系统不受外力或者所受外力之和为0，这个系统的总动量保持不变；机械能守恒定律的内容是：在只有重力和弹簧弹力做功的情形下，系统机械能的总量保持不变。运用动量守恒定律值得注意的两点是：(1)严格符合动量守恒条件的系统是难以找到的。如：在空中爆炸或碰撞的物体受重力作用，在地面上碰撞的物体受摩擦力作用，但由于系统间相互作用的内力远大于外界对系统的作用，所以在作用前后的瞬间系统的动量可认为基本上是守恒的.(2)即使系统所受的外力不为0，但沿某个方向的合外力为0，则系统沿该方向的动量是守恒的.
动量守恒定律的适应范围广，不但适应常见物体的碰撞、爆炸等现象，也适应天体碰撞、原子的裂变，动量守恒与机械能守恒相结合的综合的试题在高考中多次出现，是高考的热点内容. 例5. 如图所示，滑块A、B的质量分别为m1与m2，m1?m2，由
轻质弹簧相连接置于水平的气垫导轨上，用一轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧。两滑块一起以恒定的速率v0向右滑动.突然轻绳断开.当弹簧伸至本身的自然长度时，滑块A的速
度正好为0.求：
(1)绳断开到第一次恢复自然长度的过程中弹簧释放的弹性势能Ep；
(2)在以后的运动过程中，滑块B是否会有速度为0的时刻?试通过定量分析证明你的结论. 解：(1)当弹簧处压缩状态时，系统的机械能等于两滑块的动能和弹簧的弹性势能之和，当弹簧伸长到自然长度时，弹性势能为0，因这时滑块A的速度为0，故系统的机械能等于滑块B的动能.设这时滑块B的速度为v，则有E?1m2v2. 22(m1?m2)2v0 因系统所受外力为0，由动量守恒定律有：. （m1?m2）v0?m2v. 解得E?2m212 由于只有弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，所以有：(m1?m2)v0?Ep?E
22m1(m1?m2)v0 解得Ep?.
2m2 (2)假设在以后的运动中滑块B可以出现速度为0的时刻，并设此时A的速度为v1，弹簧的弹性
2(m1?m2)2v012势能为E'p，由机械能守恒定律得：m1v1?E'p?，根据动量守恒得 （m1?m2）v0?m1v1，
22m222(m1?m2)2v0(m1?m2)2v0求出v1代入上式得: ?E'p?2m12m222(m1?m2)2v0(m1?m2)2v0因为E'P?0，故得: 。即m1?m2，这与已知条件中m1?m2不符. ?2m12m2 可见在以后的运动中不可能出现滑块B的速度为0的情况. 例6．如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为 m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的 滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固 定在水平滑道延长线M处的墙上，一端与质量为m2的 档板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O
点．A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩 擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求： （1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小；
（2）弹簧最大压缩量为d时的弹性势能Ep（设弹簧处于原长时弹性势能为零）．
1m1v2，解得v＝2gh 2 （2）A、B在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有：m1v?(m1?m2)v?
解：（1）由机械能守恒定律，有：m1gh?碰后A、B一起压缩弹簧，当弹簧最大压缩量为d时，A、B克服摩擦力所做的功W??(m1?m2)gd
1由能量守恒定律，有：(m1?m2)v?2?EP??(m1?m2)gd
2m12解得EP?gh??(m1?m2)gd
m1?m2例7．如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为 m、βm（β为待定系数）．A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静
1止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为R，碰撞
4中无机械能损失．重力加速度为g．试求： （1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力； （3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度。
解：（1）由于碰撞后球沿圆弧的运动情况与质量无关，因此，A、B两球应同时达到最大高度处，对
mgR?mgR?，解得β＝3 44A、B两球组成的系统，由机械能守恒定律得：mgR? （2）设A、B第一次碰撞后的速度分别为v1、v2，取方向水平向右为正，对A、B两球组成的系统，有：mgR?解得v1??1212mv1??mv2 ，m2gR?mv1??mv2 2211gR，方向水平向左；v2?gR，方向水平向右． 222v2设第一次碰撞刚结束时轨道对B球的支持力为N，方向竖直向上为正，则N??mg??m，B球对
R轨道的压力N???N??4.5mg，方向竖直向下．
（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2，取方向水平向右为正，则
?mv1??mv2?mV1??mV2， mgR?11mV12??mV22 22解得V1＝－2gR，V2＝0．（另一组解V1＝－v1，V2＝－v2不合题意，舍去）
三、应用动量守恒定律解题的几个注意点
多个物体组成的系统在满足不受外力或所受合外力为零的条件下，利用动量守恒定律可以解决
高中物理专题复习 动量及动量守恒定律
