单摆
单摆、单摆的回复力 [探新知·基础练]
1．单摆
用细线悬挂着小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。
(3)单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。 [辨是非](对的划“√”，错的划“×”) 1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×) 2．单摆的回复力是重力和拉力的合力。(×)
3．一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。(×)
mgl - 1 -
[释疑难·对点练]
1．单摆
(1)单摆是实际摆的理想化模型。 (2)实际摆看作单摆的条件
①摆线的形变量与摆线长度相比小得多； ②悬线的质量与摆球质量相比小得多； ③摆球的直径与摆线长度相比小得多。 2．单摆的回复力
如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin θ是沿摆球运方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：F＝G1＝mgsin θ。
3．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回
动
xl复
力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
[试身手]
1．(多选)制作一个单摆，合理的做法是( ) A．摆线细而长 C．摆球外表面光滑且密度大
B．摆球小而不太重 D．端点固定且不松动
mgl解析：选ACD 根据构成单摆的条件判断，易知A、C、D正确。
单摆的周期 [探新知·基础练] 1.探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。 (2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量无关； ②振幅较小时周期与振幅无关；
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。 2．周期公式
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荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：T＝2π[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．荷兰物理学家惠更斯发现单摆振动的周期与振幅无关。(×) 2．单摆在振幅较小时周期较大。(×) 3．单摆的周期公式都可以用T＝2πl。 gl求解。(×) g[释疑难·对点练]
1．对周期T的理解 (1)单摆的周期T＝2π
l1为单摆的固有周期，相应地f＝g2πg为单摆的固有频率。 l(2)单摆的周期公式在最大偏角小于5°时成立。 (3)周期为2 s的单摆叫秒摆。
2．对单摆周期公式中摆长l和重力加速度g的理解
(1)l为单摆的摆长：因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，对于不规则的摆动物体或复合物体，摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定为摆线的长。如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l，甲、乙摆球做垂直于纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，而且OO′＝1
l，求各摆的周期。 3
甲：等效摆长l′＝lsin α，T甲＝2π lsin α。 g - 3 -
乙：等效摆长l′＝lsin α＋l，T乙＝2π
lsin α＋1
。
g丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O变为O′，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半
l2
个周期摆长为(l－)，即为l，则单摆丙的周期为T丙＝π
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(2)等效重力加速度g不一定等于9.8 m/s
2
l＋π g2l。 3gMg由单摆所在的空间位置决定。由g＝G2知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变
R化，而且纬度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。
g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则摆
球处于超重状态，沿轨迹圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g′＝g＋a，若升降机加速下降，则g′＝g－a。单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。
[试身手]
2．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲＞α乙(α甲
、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则( ) A．甲先到达平衡位置 C．甲、乙同时到达平衡位置 解析：选C 由单摆的周期公式T＝2π
B．乙先到达平衡位置 D．无法判断
l，可知周期T只与l、g有关，当在同一地点g释放时，周期只与摆长有关，故甲、乙同时到达平衡位置，C正确。
探究单摆周期与摆长的关系 [探新知·基础练] 1．实验原理图
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2．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。 (2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球的质量无关； ②振幅较小时，周期与振幅无关；
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。 3．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆做N(30～50)次全振动所用的时间t，利用T＝计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用l＝l0＋求
2出摆长。
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出Tl、Tl或T l 图象，得出结论。
4．周期公式
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π反比。
(3)应用——测重力加速度：由T＝2π
2
l4πl得g＝2，即只要测出单摆的摆长l和周期gT2
tNDl，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成gT，就可以求出当地的重力加速度。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
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高中物理第十一章机械振动第4节单摆解析版新人教版选修3 - 4
