【详解】
（1）由题意得动圆P的圆心到点?1?1?,0?的距离与它到直线x??的距离相等，
4?4?11?1?所以圆心P的轨迹是以?,0?为焦点，以x??为准线的抛物线，且p?，
42?4?2所以圆心P的轨迹方程为y?x．
（2）由题意设CD边所在直线方程为y?x?t，
?y?x?t22由?2消去y整理得x??2t?1?x?t?0， ?y?x∵直线CD和抛物线交于两点，
∴n??1?2t??4t2?1?4t?0，解得t?设C?x1,y1?，D?x2,y2?，
2则x1?x2?1?2t,x1x2?t.
21． 4∴CD?222??x1?x2??4x1x2??2??1?2t??4t2??2?1?4t?． ????又直线AB与直线CD间的距离为
，
∵，
∴经检验∴正方形边长∴正方形【点睛】
和
，解得都满足或
的面积
或
或．
， ．
，
（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为
，则
，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符
合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
（2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率． 20、 (1)y?x?1；(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【解析】 试题分析：
(1)利用导函数研究函数的切线方程可得切线方程为y?x?1 (2)分类讨论可得：当a?111?1?时，f?x?min?f?a??lna；当?a?2a，f?x?min?f????；当
eaeee??a?1时，f?x?min?f?2a??2ln?2a? 2e(3)构造新函数g?x??xlnx，结合(1)的结论和不等式的特点研究函数的最值即可证得题中的结论. 试题解析：
（1）a?1时，f?x??xlnx,f??x??lnx?1
切线斜率k?f??1??1，切点为?1,0?，切线方程为y?x?1 （2）f??x?? ①当a?lnx?11，令f??x??0?x? ae1时，f??x??0，f?x?在?a,2a?上单调递增， e?f?x?min?f?a??lna；
②当
111?1??1??a?2a，即?a?时， f?x?在?a,?上单调递减，在?,2a?上单调递增，e2ee?e??e?1?1??f?x?min?f????；
ae?e?③当a?1时，f??x??0，f?x?在?a,2a?上单调递减， 2e?f?x?min?f?2a??2ln?2a?
（3）要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx?令g?x??xlnx，则由（1）知?f?x?min?f????令??x??x2? exe?1??e?1 ex21?x???x?，则，当0?x?1时，???x??0，??x?递增； ??exeex1当x?1时，???x??0，??x?递增减；???x?max???1???
ex2所以?f?x?min???x?max，且最值不同时取到，即xlnx?x?
ee12??x??0,???，都有lnx?x?。
eex点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21、（Ⅰ）{x|【解析】 试题分析：
2?x?2}（Ⅱ）（2，+∞） 3?2?(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为?x?x?2?；
?3?(Ⅱ)由题意可得面积函数为为试题解析：
（I）当a?1时，f?x??1化为x?1?2x?1?1?0， 当x??1时，不等式化为x?4?0，无解； 当?1?x?1时，不等式化为3x?2?0，解得
2222?a?1?，求解不等式?a?1??6可得实数a的取值范围为?2,??? 332?x?1； 3 当x?1时，不等式化为?x?2?0，解得1?x?2． 所以f?x??1的解集为?x?2??x?2?． ?3??x?1?2a,x??1,?（II）由题设可得，f?x???3x?1?2a,?1?x?a,
??x?1?2a,x?a,? 所以函数f?x?的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A??2a?1?,0?，B?2a?1,0?，
?3?C?a,a?1?，?ABC的面积为
由题设得
22?a?1?． 322?a?1??6，故a?2． 3 所以a的取值范围为
?2,???
4 522、（Ⅰ ）2,3,1（Ⅱ）（i）见解析（ii）【解析】 【分析】
（Ⅰ ）根据抽样比即可得到结果；（Ⅱ）（ⅰ）利用列举法得到所有可能结果； （ⅱ）利用对立事件概率公式得到结果. 【详解】
（Ⅰ ）从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动， 由频率分布图得： 应从第3组抽取：6?20?2名志愿者， 6030?3名志愿者， 6010?1名志愿者． 应从第5组抽取：6?60应从第4组抽取：6?（Ⅱ）（ⅰ）记第3组的2名志愿者为A1，A2，第4组的3名志愿者为B1，B2，B3第5组的1名志愿者为C1．
则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1）， （B1，B2），（B1，B3），（B1，C1）， （B2，B3）（B2，C1）， （B3，C1）， 共有15种．
（ⅱ）第4组没有志愿者被选中包括（A1，A2），（A1，C1），（A2，C1），共三种， 故第4组至少有1名志愿者被选中的概率1?【点睛】
本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
34? 1552024-2024高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知Sn是等差数列?an?的前n项和，若a1?a2?a3?4，S6?10，则a3?（ ）
1416207A．9 B．9 C．9 D．3
2．执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
120 （B）720 （C）1440 （D）5040
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
4353A．3 B．3
C．3
D．2
4．若函数f?x??43x3?2ax2??a?2?x?5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（A．?1?a?2
B．?2?a?1
C．a?2或a??1
D．a?1或a??2
5．下列选项中说法正确的是（ ）
A．若非零向量ar，br满足ar?br?0，则ar与br的夹角为锐角
B．“?x?R，x200?x0?0”的否定是“?x?R，x2?x?0”
C．直线l1:2ax?y?1?0，l2:x?2ay?2?0，l11//l2的充要条件是a?2 D．在?ABC中，“若sinA?sinB，则A?B”的逆否命题是真命题
）
〖附15套高考模拟卷〗辽宁省朝阳市第二高级中学2024-2024学年高考仿真卷数学试卷含解析
