第四章 定积分
[对应学生用书P44]
一、定积分 1．定积分的概念：
?f(x)dx叫函数f(x)在区间[a，b]上的定积分． ?a2．定积分的几何意义：
当f(x)≥0时，??af(x)dx表示的是 y＝f(x)与直线x＝a，x＝b和x轴所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质：
b(1)∫a1dx＝b－a.
bb?(2)??akf(x)dx＝k?af(x)dx.
??(3)??a[f(x)±g(x)]dx＝?af(x)dx±?ag(x)dx. ??(4)??af(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
二、微积分基本定理
b1．如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则??af(x)dx＝F(x)| abbcbbbbbb＝F(b)－F(a)．
2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
三、定积分的简单应用
定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为：
①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
?对应阶段质量检测四?
?? ? 见8开试卷?
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知∫af(x)dx＝m，则∫anf(x)dx＝( ) A．m＋n C．mn
bbb B．m－n D.m
bn解析：根据定积分的性质，∫anf(x)dx＝n∫af(x)dx＝mn. 答案：C
2.∫0(e＋2x)dx等于( ) A．1 C．e
B．e－1 D.e＋1
1
1
0
1
x?
解析：∫(e＋2x)dx＝(e＋x)?
?0
xx2
＝(e＋1)－e＝e，故选C.
10
答案：C
k2
3．若∫0(2x－3x)dx＝0，则k等于( )
A．0 C．0或1
k223?解析：∫0(2x－3x)dx＝(x－x)?
?0
k B．1 D.不确定
＝k－k＝0，
23
∴k＝0(舍去)或k＝1，故选B. 答案：B
?4．(江西高考)若f(x)＝x＋2??0f(x)dx，则?0f(x)dx＝( )
2
11
A．－1
1
B．－ 3
1C. 3
解析：∵f(x)＝x＋2??0f(x)dx，
2
1
D.1
?1x3＋2x?fxdx?1＝1＋2?f(x)dx. ∴?f(x)dx＝?3?03?0?0?0
??
1
1
1
1
∴??0f(x)dx＝－3.
1
答案：B
?5．已知f(x)为偶函数且??0f(x)dx＝8，则?-6f(x)dx＝( )
A．0 C．8
B．4 D.16
66
解析：∵f(x)为偶函数，∴其图像关于y轴对称，
?∴??-6f(x)dx＝2?0f(x)dx＝16.
答案：D
6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为( )
66
1A. 21C. 4
10
2
1 B. 31 D. 5
13
?
解析：根据题意得S阴影＝∫3xdx＝x?
?0
11＝. 3×13
答案：B
＝1，则点M取自阴影部分的概率为
S阴影
＝S长方形
7．由y＝－x与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( ) 5A. 3
32 B. 3
2
C.
64 3
2
D.9
??y＝－x，
解析：解?
?y＝2x－3，?
2
得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．
则y＝－x与直线y＝2x－3围成的图形的面积
21
S＝∫1－3(－x)dx－∫－3(2x－3)dx
1332121
＝－x| －3－(x－3x) |－3＝.
33答案：B
8．由曲线y＝x，x＝4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为( )
A．16π C．8π
B．32π D.4π
π242
解析：由图知旋转体的体积为π∫0(x)dx＝x2
|＝8π.
40
答案：C
9．已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为( ) A．gt C.
2gt0
20
B. D.
2gt0
36
2
2gt0
1212
解析：s＝∫t00v(t)dt＝gt |t00＝gt0.
22答案：C
10．如图，两曲线y＝3－x与y＝x－2x－1所围成的图形面积是( )
2
2
A．6
B．9
C．12
??y＝3－x，
解析：由?2
??y＝x－2x－1，
2
D.3
解得交点(－1,2)，(2，－1)，
222
所以S＝∫－1[(3－x)－(x－2x－1)]dx
＝∫－1(－2x＋2x＋4)dx
22
?232??＝?－x＋x＋4x???3??－1
答案：B
2
＝9.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
?π
11. ?3cos xdx＝________.
?0?π?π
解析：?3cos xdx＝sin x?3
??0
?0
答案：
3 2
2
1
＝
3. 2
12．设函数f(x)＝ax＋c(a≠0)，若∫0f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
?13?1a1122
解析：∫0f(x)dx＝∫0(ax＋c)dx＝?ax＋cx? |0＝＋c＝ax0＋c，
3?3?
则x0＝答案：
3
. 33 3
2
13．有一横截面面积为4 cm的水管控制往外流水，打开水管后t s末的流速为v(t)＝6t－t(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________cm.
解析：由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝∫04(6t－t)dt＝4∫0(6t－
6
2
6
2
3
?213??t)dt＝4?3t－t??3??0?
2
6
＝144(cm)．
3
答案：144
2017-2024学年高中数学第四章定积分章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2-2
