公理集合论

公理集合论

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原理简介

19世纪70 年代，德国数学家G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号∈，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理。如果加上选择公理就构成ZFC系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。集合论中有关集合的性质，在公理集合论中都可以得到证明。公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如P.J.科恩于 1960 年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究已经渗透到数学的各个分支。

详细内容

一定要注意的一点：ZF公理系统中，集合的元素都是集合，自然数可用皮亚诺公理系统表示，如3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}。 ZF公理系统： (ZF1）外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。 (ZF2）空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。 (ZF3）无序对公理：也就是说，任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y。 (ZF4）并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。 准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z”。 (ZF5）幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合。 准确的定义：“对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x”。 (ZF6）无穷公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。 准确的定义：“存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。” 根据皮亚诺公理系统对自然数的描述，此即：存在一个包含所有自然数的集合。 (ZF7）替换公理模式：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，当x属于t时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。 (ZF8）正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，

例如，不允许出现x属于x的情况。 准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。” 注：（ZF3）可以由其他公理导出，所以有些场合不出现这条公理，与之类似的是“子集公理”。 (AC) 选择公理：对任意集c存在以c为定义域的选择函数g，使得对c的每个非空元集x，g(x）∈x。 ZF集合公理系统加上AC就成为ZFC公理系统。 注：ZF为Zermelo及Fraenkel

序数与替换公理

如果一集合 x的元素的元素也都还是x的元素，则称x为传递集。一个集合x是自然数：如果x是传递集，x的全体元素在∈下良序，而且x的每一非空子集对序∈而言有最大元。这样可以把自然数变成了在ZF内可以定义的一种性质，如把0定义作空集═，1定义作0∪{0},2定义作1∪{1}……等等，则0,1,2，…，都是自然数，而且只有这些是自然数。

序数是自然数的推广

“x是序数”是指如果集合x是传递集，而且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的集合，α，β∈On,α<α∈β。这样，就用∈定义了序数间的< 关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。 每一自然数都是序数，全体自然数{0,1,2，…}也是序数。对任一集合x，令s(x)=x∪{x}。则当x是序数时，s(x）亦为序数。一序数α称作后继序数：如果有一序数β，使α=s(β）。不是后继序数的序数称为极限序数，例如0,ω均为

极限序数

On虽为一真类，但；具有性质：On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质φ，即可应用超限归纳原理：对于任给的一序数β，若每一比β小的序数α都具有性质φ则β亦具有性质φ，那么对所有的序数都具有性质φ。 在定义序数运算（加、乘、幂）时，需要用超限递归定理：若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G(α）。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理还可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1,2,3，…，0，-1,-2，…。从而全体整数就良序了，其序型即为ω+ω。 事实上，任一良序集〈ω，<；〉，都有惟一的序数α使得〈w，<；〉序同构于〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下：若α,β为序数，γ为极限序数 β+0=β,β+s(α)=s(β+α),β+γ(β+α），即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积β. α和幂βα，以及相应的运算性质，如结合律等。 可以证明：替换公理是独立于其他公理的。

基数与正则公理

正则公理与其他公理不同，它不是断言某些集合的存在，

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而是限制一些集合的存在。提出它是为了研究ZF的模型。在ZF中可定义的数学对象都不以自身为元素；也未发现有集合x,y，具有x∈y并且y∈x的性质或者集合序列x1,x2，…，满足：

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。1917年 D.米里马诺夫首先提出良基集的概念。1922年弗伦克尔在策梅洛原来的公理系统补充了一条公理名曰限制公理，顾名思义，它是给出某种限制，以排除那些非良基集。1925年J.冯·诺伊曼，称它为正则公理。1930年策梅洛也独立地引入了这条公理，并称它为基础公理：

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。从而完成了ZF。 冯·诺伊曼给出了一个分层

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其中V0=═

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（α为任一序数，F(Vα）表Vα的幂集

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。这样，正则公理肯定了每一集合必在某一Vα中。若再引进γ

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，称为x的秩。从而，即可依秩来作超限归纳。 在AC成立的条件下，每一群都同构于一个在π中的群：每一拓扑空间都同构于一个在Π中的拓扑空间，等等。而在数学讨论中常常是把同构的对象视作同一的；故正则公理并不给讨论带来局限。

基数

基数概念至为重要。两个集x、y称作是等势

两个集x、y称作是等势的

若在x与y之间能建立一个一一对应。如果集合x与y等势，则记作x～y。由于AC任一集合x都可以良序化，故有序数α，使得α～x，把这种α中最小的那个序数定义作为集合x的基数，并记作│x│。这样定义的基数│x│仍然是一个集合；而每一集合x都有一个│x│作为x的数量大小的一个刻画；并且如果x～y，则│x│=│y│。 这样定义的基数是序数的一部分：即是不能与小于自己的序数等势的那些序数，也就是所谓初始序数。例如0，1，2，…，ω等都是初始序数，因而都是基数。而ω+1，ω+2，…，ω+ω等都不是初始序数，故都不是基数。所以紧接着基数0,1,2，…，ω的基数是ω1，它也记作堗1。 如果AC不成立，则可利用正则公理来定义任一集合x的基数，记作悯。悯为一集合：

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。 上述定义系D.S.斯科特于1955年给出的。 在60年代末期A.莱维还证明了在AC与正则公理都不成立的情况下，基数概念是不可定义的。

构造模型的方法

由哥德尔不完备性定理可知：如果ZF是协调的，则在ZF中不能证明自身的协调性。所以，在公理集合论中只考虑相对协调性问题。如：

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解决这类问题的常用方法就是构造模型。在公理集合论中构造模型的方法不外三点：内模型法，外模型法（即力迫方法），对称模型法。 内模型法是从已知的一个模型M 出发，来定义M 的一个子模型M s；使得M s满足ZF的一些公理或者ZF以外的一些公理。公理集合论的一个著名成果就是1938年K.哥德尔所给出的 ConZF→Con(ZF+CH）的证明，证明中用的就是内模型法，但是当时尚未如此命名。 迄至1951年J.C.谢泼德森已经把内模型法研究得很完善，并已知道要用此法去证明

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是不可能的。 外模型法（即力迫法）是P.J.科恩1963年所创，科恩据此而证明了CH的相对于ZF的独立性（见力迫方法）。 排列模型的想法始于弗伦克尔，当时他是用来证

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及一些弱选择公理的相对协调性，适用于有原子（本元）的集合论。迭经A.莫斯托夫斯基、斯派克等人的改进而形成FMS方法，其与外模型法相结合即可构成对称模型法。

分支

在公理集合论的研究中，大量的工作是关于集合论模型的，此外，还继续此前朴素集合论对无穷组合问题的研究即组合集合论的研究。其中的一些问题是来源于柯尼希树引理和 F. P.拉姆齐定理的推广。 另一分支则为描述集合论（亦称解析集合论），主要是研究划分层次以后的实数子集的结构性质问题。因而，这一部分与分析、实数理论和递归论的关系较为密切。 即使限于上述两个分支的研究，也有许多问题要用到ZF（或ZFC）以外的附加假设才能判定。这里，常用的附加假设有：可构成公理；各种大基数公理，以及与AC不协调的决定性公理等。 哥德尔在1938年提出了可构成公理，并在60年代末和70年代得到重视和发展。至于大基数的研究由来已久，但其作为附加公理亦是在60年代以后。几乎每一种大基数都是ω的某种性质向不可数基数的推广。可构成性、大基数和力迫法已成为公理化集合论的三大主流，同时它们又是三种研究工具。随着无穷博弈的诞生和博弈论在数学各分支的渗透，以及博弈论与逻辑的关系日益密切，决定性公理也愈受到重视。

选择公理

选择公理是现代数学中最常用的假设，过去许多人曾不自觉地使用。对这个问题引起注意，是因为康托尔在1883年提出任意集合是否都可良序化的问题。希尔伯特也曾把这个问题引入其23问题头一问题的后半部分。1904年，策梅罗提出选择公理，并通过选择公理证明了良序定理。这个公理有极多的等价形式，其中有在代数中常用的造恩引理。这个应用极广、看来正确的选择公理，却可以证明出一些看来荒唐的结果。如1914年的豪斯道夫的分球面定理和U23年的巴拿赫—塔尔斯基悖论。 可是选择公理的用途太大，不能忽视，许多学科的基本定理少不了它：泛函分析中的哈恩—巴拿赫定理（关于巴拿赫空间上的线性泛函的可扩张性）；拓扑学的吉洪诺夫定理（关于任意多紧空间的直积为紧）；布尔代数的斯通表示定理，每个布尔代数皆同构于集代数；自由群论的尼尔森定理，自由群的子群也是自由的。 其他还有许多定理，如果没有选择公理也不行。

连续统假设

连续统假设的历史最久，它可以说是随着集合论一起产生的。1883年康托尔就提出了这个假设，可数无穷集的基数的后面就是连续统的基。康托尔花了毕生精力去证明，但没有成功。希尔伯特把它列入自己著名的23个问题的头一个。希尔伯特本人也曾经用了许多精力证明它，并且在192～—1926年宣布过证明的大纲，但终究未能成