高等代数第一次作业
第一章 多项式 §1—§3
一、填空题
1. 如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则 。f(x)|h(x) 2. 若f(x)|g(x)?h(x),f(x)|g(x)，则 。f(x)|h(x) 3. 若f(x)|g(x),f(x)/|h(x)，则 。f(x)/|g(x)?h(x) 二、判断题
1. 数集?a?bi|a,b是有理数,i2??1?是数域（ ）√ 2. 数集? a?bi|a,b是整数,i2??1?是数域 （ ）×3. 若f(x)|g(x)h(x),f(x)/ |g(x),则f(x)|h(x) ( ) ×4. 若f(x)|g(x)?h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ）√
?6. 数集?n5. 数集a?b2|a,b是有理数?是数域 （ ）√
除法不封闭 2|n为整数?是数域 （ ）×
7. 若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) × 当f(x)是不可约时才成立 8. 若f(x)/ 如f(x)?x2，g(x)?h(x)?x时不成立 |g(x),f(x)/|h(x)，则f(x)/|g(x)h(x) ( ) ×
9. 若f(x)|g(x)?h(x),f(x)|g(x)?h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( ) √ 三、选择题
1. 以下数集不是数域的是（ ）B A、?a?bi|a,b是有理数，i2??1? B、?a?bi|a,b是整数，i2??1?
? C、a?b2|a,b是有理数? D、?全体有理数2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C
A、若f(x)|g(x)h(x)且f(x)/|g(x),则f(x)|h(x) B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)
C、若f(x)|g(x)?h(x)，且f(x)|g(x)，则f(x)|h(x) D、若f(x)/|g(x),f(x)/|h(x)，则f(x)/|g(x)h(x)
四、计算题
数域P中的数m,p,q适合什么条件时, 多项式x2?mx?1|x3?px?q? 解：由假设，所得余式为0，即 (p?1?m2)x?(q?m)?0
?p?1?m2?0所以当?时有x2?mx?1|x3?px?q
?q?m?0?五、证明题
f（1）?f(?1)f(1)?f(?1)x?。
22证明：设余式为ax?b，则有f(x)?(x2?1)q(x)?ax?b
?a?b,f?(1?)?a? f(1) bf(1)?f(?1)f(1)?f(?1),b?求得a= 22试证用x2?1除f(x)所得余式为
高等代数第二次作业
第一章 多项式 §4—§6
一、填空题
1. 当p(x)是 多项式时，由p(x)|f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。不可约 2. 当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。互素
3. 设f(x)?x3?3x2?ax?b用x?1除余数为3，用x?1除余数为5，那么a? b? 。a=0,b=1 4. 如果(f(x),g(x))?1，(h(x),g(x))?1，则 。(f(x)h(x),g(x))?1 5. 设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则 。p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 6. 设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则 。p(x)|f(x)或(p(x),f(x))?1 7. 若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))?1，则 。g(x)h(x)|f(x) 8. 若p(x)|g(x)h(x),且 ，则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。p(x)是不可约多项式 二、判断题
1. 若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，则g(x)h(x)|f(x) （ ）×
2. 若(f(x)g(x),h(x))?1,则(f(x),h(x))?1，(g(x),h(x))?1 ( ) √ 3. 若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),则(f(x),h(x))?1 ( ) ×
4. 设p(x)是数域P上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f?(x)的k?1重因式。 （ ）√
5. 若有d(x)?f(x)u(x)?g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ）× 6. 若p(x)是f?(x)内的k重因式，则p(x)是f(x)的k?1重因式（ ）× 如f(x)?xk?1?1 三、选择题
1. 关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）D A、若f(x)|g(x)h(x)且f(x)|g(x) ,则(f(x),h(x))?1
B、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式 C、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式 D、若(f(x)g(x),h(x))?1，则(f(x),h(x))?1且(g(x),h(x))?1 2. 关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ）C A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)
B、若q(x)也是不可约多项式，则(p(x),q(x))?1或p(x)?cq(x),c?0 C、p(x)是任何数域上的不可约多项式 D、p(x)是有理数域上的不可约多项式
3. 关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）D A、若不可约多项式p(x)是f?(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k?1重因式
B、若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)，f?(x)的最大公因式 C、若不可约多项式p(x)是f?(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式
f(x)D、若不可约多项式p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是的单因式
?(f(x),f(x))四、计算题
1．设f(x)?x4?x3?x2?2x?1,g(x)?x3?2x?1,求(f(x),g(x))以及u(x),v(x),使
u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x)).
解：利用辗转相除法得
f(x)?g(x)q1(x)?r1(x)?g(x)(x?1)?x2?x,g(x)?r1(x)q2(x)?r2(x)?(x2?x)(x?1)?x?1, r1(x)?r2(x)q3(x)?(?x?1)(?x).因此(f(x),g(x))?x?1.又
r2(x)?g(x)?r1(x)q2(x)?g(x)?(f(x)?g(x)q1(x))q2(x)??q2(x)f(x)?(1?q1(x)q2(x)).
(f(x),g(x))??r2(x)?q2(x)f(x)?(1?q1(x)q2(x))g(x).
所以u(x)?q2(x)?x?1,v(x)??1?q1(x)q2(x)??1?(x?1)(x?1)??x2. 2．设f(x)?x5?x3?4x2?3x?2
(1)判断f(x)在R上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数; (2)求f(x)在R上的标准分解式.
解:（1）f?(x)?5x4?3x2?8x?3.运用辗转相除法可得：(f(x),f?(x))?x2?x?1.
x2?x?1为f(x)在R上二重因式.
(2)由(1)可得f(x)在R上的标准分解式为
f(x)?(x2?x?1)2(x?2).
解法2: f(x)的可能有理根为?1,?2,经检验?2为f(x)的有理根,由综合除法可得
?210?2?1434?6?2?3412?2 01?2因此有f(x)?(x4?2x3?3x2?2x?1)(x?2)?(x2?x?1)2(x?2).x2?x?1为f(x)在R上二重因式.
f(x)在R上的标准分解式为
f(x)?(x2?x?1)2(x?2).
五、证明题
1．设k?2为正整数,证明:f(x)|g(x)?fk(x)|gk(x).
证明:当f(x)|g(x)时，有g(x)?f(x)q(x),因此gk(x)?fk(x)qk(x),即有fk(x)|gk(x). 反之设
f(x)?p1r1(x)p2r2(x)g(x)?p1m1(x)p2m2(x)其中p1(x),p2(x),psrs(x) psms(x)
,ps(x)是互不相同的不可约多项式,ri?0,mi?0(i?1,2,,s).由fk(x)|gk(x)可得
kri?kmi(i?1,2,,s),即ri?mi(i?1,2,,s).因此有f(x)|g(x).
2. 已知f(x),g(x),h(x)是数域P上的多项式，a,b,c?P,a?b,a?0,c?0，且
?(x?a)f(x)?(x?b)g(x)?(x2?c)h(x) ?2?(x?a)f(x)?(x?b)g(x)?(x?c)h(x)则x2?cf(x),x2?cg(x).
证明:两式相加得:2x(f(x)?g(x))?2(x2?c)g(x).由c?0得(x,x2?c)?1.因此有
高等代数作业 第一章 多项式答案
