2024版高考数学一轮复习课时跟踪检测：
课时跟踪检测（二） 命题及其关系、充分条件与必要条件
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2024·张家港外国语学校检测)命题“若x－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是________________________．
答案：若x≠3，则x－4x＋3≠0
2．(2024·苏州实验中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.命题甲：
2
2
A＋C＝2B，且a＋c＝2b；命题乙：△ABC是正三角形，则命题甲是命题乙的________ 条
件．
答案：充要
3．“m＝3”是“两直线l1：mx＋3y＋2＝0和l2：x＋(m－2)y＋m－1＝0平行”的________条件．
答案：充要
4．(2024·南京模拟)有下列命题： ①“若a＞b，则a＞b”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a≤b”，假命题．
②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题． ③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x≥4”，真命题． 答案：②③
5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为__________． 解析：由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}?{x|x＞a}，所以a≤5. 答案：(－∞，5]
6．(2024·苏州中学检测)已知集合A＝{x|x(x－3)＜0}，B＝{x||x－1|＜2}，则“x∈
2
2
2
2
2
2
A”是“x∈B”的________条件．
解析：因为集合A＝(0,3)，集合B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
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1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________． 解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”
2．(2024·南通中学高三测试)已知a，b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x＋y＝0与圆(x－a)＋(y－b)＝2相切，则p是q的________条件．
解析：圆(x－a)＋(y－b)＝2的圆心为(a，b)，半径r＝2，直线x＋y＝0与圆相切，|a＋b|
则圆心到直线的距离d＝＝2，解得|a＋b|＝2.即a＋b＝±2，所以p是q的充分不
1＋1必要条件．
答案：充分不必要
3．(2024·南通模拟)设a，b都是不等于1的正数，则“3＞3＞3”是“loga3＜logb3”的___________条件．
解析：因为3＞3＞3，所以a＞b＞1，此时loga3＜logb3；反之，若loga3＜logb3，则11aba不一定得到3＞3＞3，例如当a＝，b＝时，loga3＜logb3成立，但推不出a＞b＞1.故“3
23＞3＞3”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
4．(2024·无锡一中检测)给出下列说法：
π
①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；
2②“在△ABC中，sin B＞sin C是B＞C的充要条件”是真命题； ③x≤3是|x|≤3的充分不必要条件；
④命题“若x＜－1，则x－2x－3＞0”的否命题为“若x≥－1，则x－2x－3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x＋y＝
π
，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则2
2
2
2
2
2
2
ababbx＋y＝”，当x＝0，y＝
π23π3π
时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命22
题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B＞sin C?b＞c?B＞C，②正确；对于③，因为|x|≤3x≤3，所以x≤3是|x|≤3的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
5．(2024·南通一中高三测试)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．因为p是q的充分不必要条件，所以M??a＞0，
N，所以?
??a＋1＜4，
2
2
解得0＜a＜3.
答案：(0,3)
y≥x－1，??22
6．设p：实数x，y满足(x－1)＋(y－1)≤2，q：实数x，y满足?y≥1－x，
??y≤1，
是q的________条件．
解析：p表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．
由图可知，p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分
则p7．在命题“若m＞－n，则m＞n”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：若m＝2，n＝3，则2＞－3，但2＜3，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)＞(－2)，但－3＜2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
8．(2024·常熟中学测试)给定下列命题： ①若k＞0，则方程x＋2x－k＝0有实数根； ②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件； ④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题． 其中真命题的序号是________．
解析：①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．
答案：①②④
9．(2024·天一中学期末)已知p：|x－1|＞2，q：x－2x＋1－a≥0(a＞0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由|x－1|＞2，得x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1. 由x－2x＋1－a≥0(a＞0)，得[x－(1－a)][x－(1＋a)]≥0， 即x≥1＋a或x≤1－a，a＞0. 若q是p的必要不充分条件，
2
2
2
2
2
2
22
2
22
a＞0，??
则?1＋a≤3，??1－a≥－1，
解得0＜a≤2.
答案：(0,2]
10．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件．
解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，又S4＝2S2， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，所以a3＋a4＝a1＋a2，
所以q＝1?|q|＝1，所以“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件． 答案：充要
11．(2024·南师大附中检测)设p：实数x满足x＋2ax－3a＜0(a＞0)，q：实数x满2
足x＋2x－8＜0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．
22
解：由x＋2ax－3a＜0(a＞0)，得－3a＜x＜a，即p：－3a＜x＜a.
由x＋2x－8＜0，得－4＜x＜2，即q：－4＜x＜2. 因为綈p是綈q的必要不充分条件， 所以p能推出q，q不能推出p， 所以{x|－3a＜x＜a}{x|－4＜x＜2}， －3a≥－4，??
即?a＜2，??a＞0
2
2
2
2
??
－3a＞－4，??
或?a≤2，??a＞0，
4?4?解得0＜a≤，故a的取值范围是?0，?.
3?3?12．已知集合A＝?x?
?mx－1＜0?
?
?x?
，B＝{x|x－3x－4≤0}，C＝{x|log1x＞1}，命题p：
22
实数m为小于6的正整数，q：A是B成立的充分不必要条件，r：A是C成立的必要不充分条件．若命题p，q，r都是真命题，求实数m的值．
解：因为命题p是真命题， 所以0＜m＜6，m∈N， 所以A＝?x?
??
①
?mx－1＜0??
?x?
2
??1?
＝?x?0＜x＜??
?m?
.
由题意知，B＝{x|x－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}，
?x|logx＞1???1?
1?＝?x?0＜x＜?C＝?
?
2??
?2?
.
因为命题q，r都是真命题，所以AB，CA，
??m≤4，
所以?11
??m＞2.1
②
由①②得m＝1.
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1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的________条件． 解析：当等比数列{an}的首项a1＜0，公比q＞1时，如an＝－2是递减数列，所以充分性不成立；
反之，若等比数列{an}为递增数列，
??a1＜0，则?
?0＜q＜1?
n
??a1＞0，
或?
?q＞1，?
所以必要性不成立，即“q＞1”是“{an}为递增数列”的
既不充分也不必要条件．
答案：既不充分也不必要
2．(2024·苏州木渎中学测试)若命题“ax－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意知ax－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；
??a＜0，
当a≠0时，由?2
?Δ＝4a＋12a≤0，?
2
2
得－3≤a＜0，
综上，实数a的取值范围为[－3,0]． 答案：[－3,0]
3．已知集合A＝{x|x－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}． (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝?，求a的取值范围． 解：A＝{x|x－6x＋8＜0}＝{x|2＜x＜4}，
2
2
B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
(1)当a＝0时，B＝?，不合题意．
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，要满足题意，
??a≤2，
则?
?3a≥4，?
4
解得≤a≤2.
3
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，要满足题意，
?3a≤2，则?
?a≥4，
无解．
?4?综上，a的取值范围为?，2?. ?3?
(2)要满足A∩B＝?， 当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}
江苏专版2024版高考数学一轮复习课时跟踪检测二命题及其关系充分条件与必要条件理含解析
