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第 一 章 一阶微分方程的解法的小结
⑴、可分离变量的方程： ①、形如
dy?f(x)g(y) dx 当g(y)?0时，得到
dy?f(x)dx，两边积分即可得到结果； g(y)当g(?0)?0时，则y(x)??0也是方程的解。 例1.1、
dy?xy dxx2dy?C?xdx，两边积分得到lny?解：当y?0时，有
2y所以y?C1ex22(C为常数)
(C1为非零常数且C1??eC)
y?0显然是原方程的解；
综上所述，原方程的解为y?C1ex22(C1为常数)
②、形如M(x)N(y)dx?P(x)Q(y)dy?0
当P(x)N(y)?0时，可有
M(x)Q(y)dx?dy，两边积分可得结果； P(x)N(y)当N(y0)?0时，y?y0为原方程的解，当P(x0）?0时，x?x0为原方程的解。 例1.2、x(y?1)dx?y(x?1)dy?0 解：当(x?1)(y?1)?0时，有
2222yxdy?dx两边积分得到 1?y2x2?1lnx2?1?lny2?1?lnC22(C?0)，所以有(x2?1)(y2?1)?C(C?0)；
当(x?1)(y?1)?0时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为(x?1)(y?1)?C⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如
22(C为常数)。
dyy?g() dxx1 / 9
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ydu?u?g(u)为变量可分离方程，得到，则dy?xdu?udx，代入得到xxdxyf(u,x,C)?0(C为常数)再把u代入得到f(,x,C)?0(C为常数)。
xdy?G(ax?by),(ab?0) ②、形如dxadx?du1dua??G(u)为变量可分离方程，得到解法：令u?ax?by，则dy?，代入得到
bbdxb解法：令u?f(u,x,C)?0(C为常数)再把u代入得到f(ax?by,x,C)?0(C为常数)。
③、形如
dyax?b1y?c1?f(1) dxa2x?b2y?c2解法：1、
0a1b1a2b2?0，转化为
dy?G(ax?by)，下同①； dx20、
a1a2?u?x?x0?ax?b1y?c1?0的解为(x0,y0)，令? ?0，?1v?y?yb2ax?by?c?0022?2?b1a1?b1vdvau?b1vu)?g(v)，下同②； 得到，?f(1)?f(vdua2u?b2vua2?b2u还有几类：yf(xy)dx?xg(xy)dy?0,u?xy
x2dydyyy?f(xy),v?xy ?xf(2),w?2 dxdxxxM(x,y)(xdx?ydy)?N(x,y)(xdy?ydx)?0,x?rcos?,y?rsin?
以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、
dyx?y?5? dxx?y?2duu?7?，有udu??7dx dxu解：令u?x?y?2，则dy?dx?du，代入得到1?u2??7x?C所以2例2.2、
2（x?y?2）(C为常数)，把u代入得到?7x?C2(C为常数)。
dy2x?y?1? dxx?2y?12 / 9
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11??x??u?x???2x?y?1?03，令?3，有?dy?dv，代入得到 解：由?得到???11x?2y?1?0??dx?du?y??v?y?33??v2?dv2u?vu，令t?v，有dv?tdu?udt，代入得到t?udt?2?t，化简得到，??duu?2v1?2vudu1?2tudu1?2td(1?ln(1?t?t2)u?2?2t?2t2dt??t?t2)2(1?t?t2)，有lnu??2?C(C为常数)，u?C1C11?t?t2，(C1??e)，故代入得到x?1?C3(C1?2,1?0)
y??y?1?1?3?x?1??3??3??x?1?3??（3）、一阶线性微分方程：
一般形式：a（1x)dydx?a0(x)y?h(x) 标准形式：
dydx?P(x)y?Q(x) 解法：1、直接带公式：
y?Ce??P(x)dx?e??P(x)dx?e?P(x)dxQ(x)dx?e??P(x)dx(?e?P(x)dxQ(x)dx?C) 2、积分因子法：
y(x)?1?(x)[??(x)Q(x)dx?C]，?(x)?e?P(x)dx 3、IVP：
dydx?P(x)y?Q(x)，y(x0)?y0 y?e??xxP(s)ds0(?x?xtxP(s)ds0xQ(t)edt?yx?txP(s)ds00)?y0e??xP(s)ds0??Q(t)0xedt
0例3、(x?1)dydx?ny?ex(x?1)n?1 解：化简方程为：
dynndx?x?1y?ex(x?1)n，则P(x)??x?1,Q(x)?ex(x?1)n; n代入公式得到?(x)?e?P(x)dx?e??x?1dx?(x?1)-n
所以，y(x)?(x?1)n[?(x?1)?nex(x?1)ndx?C]?(x?1)n(ex?C)(C为常数)
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所以有
一阶常微分方程解法总结
