极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用
1．（2018?银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：于M，N两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．
解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x， 用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．
（t为参数），两曲线相交
（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），
代入y2=4x，得到则 t1+t2=12
，设M，N对应的参数分别为t1，t2，
．
，t1?t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=
2．（2018?乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 （t为参数），
点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．
（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|?|AQ|的值．
解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即 （x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．
（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线 （t为参数）上．
把直线的参数方程代入曲线C的方程可得 t2+
t﹣=0．
由韦达定理可得 t1?t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|?|AQ|=|t1?t2|=．
3．（2018?西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
ρcosθ+ρsinθ﹣
=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣
）．
（I）求直线l和C的普通方程；
（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣
解：（I）直线l的极坐标方程为
ρcosθ+ρsinθ﹣
=0，所以：直线l的普通方程为：
．
，
），求||PA|﹣|PB||的值．
因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：
（II）直线l：的参数方程为：（t为参数），
代入圆C2的普通方程则：||PA|﹣|PB||=
：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17， ，=
．
4．（2018?内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求
解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为
．
的值．
∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分）
∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分） （Ⅱ）将直线l的参数方程
，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，
得
，…（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2，
∵点P在曲线C的左下方，∴|PA|=t1，|PB|=t2，…（8分） ∴
=
=
=3
．…（10分）
5．（2018?上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ． （1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程； （2）若直线l与圆C交于A，B两点，求
解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4， 直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（2）将
（t为参数）．
的最大值和最小值．
代入（x﹣2）2+y2=4，得t2﹣2tcosα﹣3=0，△=（2tcosα）2+12＞0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则
，
=
因为cosα∈[﹣1，1]，所以
6．（2018?武昌区校级模拟）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为为ρcos2θ=4sinθ． （1）若
，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（t为参数，0≤α＜π），曲线C的极坐标方程
的最大值为，最小值为
．
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．
解：（1）当
时，由直线l的参数方程
消去t得
，
即直线l的普通方程为
；因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得（ρcosθ）2=4ρsinθ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y．
（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α﹣4tsinα﹣8=0， 由题意知则∴
，
，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， ， =
=．
∵
，cos2α∈（0，1]，
．
，
当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为
7．（2018?洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（（Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）若α∈[0，
），直线l的参数方程为
，），半径r=．
（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求
弦长|AB|的取值范围．
解：（Ⅰ）∵C（
，
）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分） （Ⅱ）将
2
代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）
=3，
即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣1． ∴|AB|=|t1﹣t2|=∵α∈[0，
），∴2α∈[0，
=2），∴2，2
．
≤|AB|＜2
．
即弦长|AB|的取值范围是[2
）…（10分）
8．（2018?新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为参数方程为
，（t为参数）．
，（θ为参数），直线l的
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
解：（1）曲线C的参数方程为直线l的参数方程为
（θ为参数），转换为直角坐标方程为：
．
（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．
+
=1
，
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：由于（1，2）为中点坐标， ①当直线的斜率不存时，x=1．
②当直线的斜率存在时，即：直线l的斜率为﹣2．
，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，
9．（2018?合肥二模）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标
原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）． （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
解（Ⅰ）曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ=0．即x2=2ay（a＞0）． （Ⅱ）将
代入x2=2ay，得
，得
．
∵a＞0，∴解①得即∵
，∴
．
．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|?|PN|， ，∴
，即
，解得a=0或
．
10．（2018?芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为
（t
为参数，a∈R），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．
（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值． 解：（1）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为
（t为参数，a∈R），
消参得曲线C1的普通方程为x+y﹣a﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0． 两边同乘ρ得ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，即y2=2x．………（5分） （2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得
+2
+1﹣2a=0，
设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，
极坐标与参数方程专题(1)——直线参数t几何意义的应用
