例 2014年上海市松江区中考模拟第25题
在△ABC中，AC＝25，AB＝35，tanA＝
4，点D为AC边上的一点，且AD＝5，点E、3F为边AB上的动点（点F在点E的左边），且∠EDF＝∠A．设AE＝x，AF＝y．
（1）如图1，当DF⊥AB时，求AE的长；
（2）如图2，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）连结CE，当△DEC与△ADF相似时，求x的值．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14松江25”，拖动点E运动，观察角度的度量值，可以体验到，∠CDE与∠AFD保持相等，△DEC与△ADF相似存在三种情况．
请打开超级画板文件名“14松江25”，可以体验到，．
思路点拨
1．当DF⊥AB时，△ADE是直角三角形．
2．因为∠EDF＝∠A，∠AED公用，所以△EAD与△EDF保持相似，因此可以得到y关于x的关系式．
3．探究△DEC与△ADF相似，最关键的一步是寻找一组对应角相等．
满分解答
（1）如图3，当DF⊥AB时，由于∠EDF＝∠A，所以∠ADE＝90°． 在Rt△ADE中，AD＝5，tanA＝
4525，所以AE＝AD＝． 333
图3 图4 图5
（2）如图4，作DH⊥AB，垂足为H． 在Rt△ADH中，AD＝5，tanA＝
4，所以AH＝3，DH＝4． 3在Rt△EDH中，DH＝4，EH＝x－3，
所以ED2＝DH2＋EH2＝42＋(x－3)2＝x2－6x＋25．
如图5，在△EAD与△EDF中，已知∠A＝∠EDF，又因为∠AED公用，
所以△EAD∽△EDF．由此可得ED2＝EA·EF，即x2－6x＋25＝x(x－y)．
整理，得y?6x?2525．定义域是≤x≤35． x6（3）在△DEC与△ADF中，总保持∠CDE＝∠AFD，这是因为：
∠CDF＝∠CDE＋∠EDF，∠CDF＝∠AFD＋∠A，而已知∠EDF＝∠A， 所以∠CDE＝∠AFD．
因此△DEC与△ADF相似，存在两种可能：
①如图6，当∠CED＝∠A时，又已知∠A＝∠EDF， 所以∠CED＝∠EDF．因此DF//CE．
所以
AFAD6x?251y1，即?．解方程??， 2AEACx5x5得x＝25（如图6），或x＝5（如图7）．
图6 图7
②如图8，当∠ECD＝∠A时，那么EA＝EC，点E在AC的垂直平分线上． 如图9，作CM⊥AC于M，在Rt△AEM中，AM＝
412525，tanA＝，所以x?AE?．
362
图8 图9
考点伸展
第（3）题我首先想到的方法是：因为∠CDE＝∠AFD，根据对应边成比例，分和
DEFA?DCFDDEFD两种情况列方程．但是因为运算太繁琐而放弃了． ?DCFA在4条线段中，已知FA＝y，DC＝20，DE?x2?6x?25，FD?你试试解这两个方程．
y2?6y?25．
2014上海各区模拟考中考数学压轴题2-14松江25
