2024年湖南省普通高中学业水平考试
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等差数列{an}的前3项分别为2、4、6，则数列{an}的第4项为
A．7 B．8 C．10 D．12 正视图 侧视图 2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 3．函数f(x)?(x?1)(x?2)的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
俯视图
（第2题图）
4．已知集合??{?1,0,2}，??{x,3}，若????{2}，则x的值为 A．3 B．2 C．0 D．-1
5．已知直线l1：y?2x?1，l2：y?2x?5，则直线l1与l2的位置关系是 A．重合 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行
6．下列坐标对应的点中，落在不等式x?y?1?0表示的平面区域内的是
A．（0，0） B．（2，4） C．（-1，4） D．（1，8）
7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为
A．14 B．23 C．33 D．43
C
8．如图，D为等腰三角形ABC底边AB的中点，则下列等式恒成立的是
A．CA?CB?0 B．CD?AB?0 C．CA?CD?0 D．CD?CB?0
?9．将函数y?sinx的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应
3的函数解析式为
??A．y?sin(x?) B．y?sin(x?)
33A
D （第8题图）
B
2?2?) D．y?sin(x?) 3310．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为
24A． B．
3564C． D．
53二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．
C．y?sin(x?（第10题图）
11．比较大小：log25 log23 （填“＞”或“＜”）．
12．已知圆(x?a)2?y2?4的圆心坐标为(3,0)，则实数a? ．
13．某程序框图如图所示，若输入的a,b,c值分别为3，4，5，则输出的y值为 ． 14．已知角?的终边与单位圆的交点坐标为（
13），则,22
开始 cos?= ． 输入a,b,c 15．如图，A，B两点在河的两岸，为了测量A、B之间的距离，测量者在A的同侧选定一点C，测出A、C之间的距离是100米，∠BAC=105o，∠
a?b?cACB=45o，则A、B两点之间的距离为 米． y?3 B
输出y
河
结束 105o 45o A C （第13题图）
（第15题图）
三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）
已知函数y?f(x)（x?[?2,6]）的图象如图．根据图象写出： （1）函数y?f(x)的最大值； （2）使f(x)?1的x值．
-2 2 1 -1 O -1 2 5 6 y x （第16题图）
17．（本小题满分8分）
一批食品，每袋的标准重量是50g，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g），并得到其茎叶图（如图）． （1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；
（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率． 18．（本小题满分8分）
4 5 6 6 9
5 0 0 0 1 1 2
（第17题图）
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=2． （1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小； （2）求证：AC⊥平面BB1D1D．
D1 A1 B1
C1
D A B （第18题图）
C
19．（本小题满分8分）
已知向量a =（sinx，1），b =（cosx，1），x?R．
?（1）当x?时，求向量a + b的坐标；
4（2）若函数f(x)?|a + b|2?m为奇函数，求实数m的值． 20．（本小题满分10分）
已知数列{an}的前n项和为Sn?2n?a(a为常数，n?N*)． （1）求a1，a2，a3；
（2）若数列{an}为等比数列，求常数a的值及an；
（3）对于（2）中的an，记f(n)???a2n?1?4??an?1?3，若f(n)?0对任意的正整数n恒成立，求实数?的取值范围．
2024年湖南省普通高中学业水平考试
数学试卷参考答案
一、选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 答案 B 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B 9 A 10 C 二、填空题（每小题4分，满分20分） 11．＞； 12． 3； 13．4； 14． 三、解答题（满分40分）
16．解：（1）由图象可知，函数y?f(x)的最大值为2； …………………3分
（2）由图象可知，使f(x)?1的x值为-1或5． ……………6分 17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（g）， ………………2分 因为这10袋食品重量的平均数为
45?46?46?49?50?50?50?51?51?52?49（g），
101； 15． 1002． 2所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（g）； ……………4分
（2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47g的有3袋，所以可以估计这批食品重量的
37，故可以估计这批食品重量的合格率为． 8分 101018．（1）解：因为D1D⊥面ABCD，所以BD为直线B D1在平面ABCD内的射影，
所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角， …………………2分
不合格率为
又因为AB=1，所以BD=2，在Rt△D1DB中，tan?D1BD?D1D?1， BD所以∠D1BD=45o，所以直线D1B与平面ABCD所成的角为45o； 4分 （2）证明：因为D1D⊥面ABCD，AC在平面ABCD内，所以D1D⊥AC， 又底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD， …………………6分 因为BD与D1D是平面BB1D1D内的两条相交直线，
所以AC⊥平面BB1D1D． …………………………8分
?19．解：（1）因为a =（sinx，1），b =（cosx，1），x?，
4所以a + b?(sinx?cosx,2)?(2,2)； …………………4分 （2）因为a + b?(sinx?cosx,2)，
所以f(x)?(sinx?cosx)2?4?m?sin2x?5?m， ……………6分
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