由题意，令s1所在行为零得K?666.25 由s2行得 52.5s2?200?666.25?0
解之得 s??4.062i，所以振荡角频率为 ??4.062rad/s 3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?定时的K值范围。 解：
由题可知系统的特征方程为 列劳斯表如下 由劳斯稳定判据可得
解上述方程组可得 0?K?1.705 3-9系统结构如图3-1所示，G(s)?K，定义误差e(t)?r(t)?c(t)，
s(Ts?1)K(0.5s?1)，试确定系统稳2s(s?1)(0.5s?s?1)(1) 若希望图a中，系统所有的特征根位于s平面上s??2的左侧，且阻尼比为，
求满足条件的K,T的取值范围。
(2)求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。
(3)为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示，试求出合适的K0值。
(a) (b)
图3-1 习题3-9 示意图
解：（1）闭环传递函数为?(s)?K?2Ts?s?KK/T
1Ks2?s?TT即?n?K111,2??n?,???0.5??n?,K? TTTTD(s)?Ts2?s?K,令s'?s?2，代入上式得，
列出劳斯表，
(2) R(t)?t，系统为I型系统 ∴ess?1/K
K0并没有改变系统的稳定性。
3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数： （1）G(s)?100；
(0.1s?1)(s?5)50
s(0.1s?1)(s?5)（2）G(s)?试求输入分别为r(t)?2t和r(t)?2?2t?t2时，系统的稳态误差。 解： （1）G(s)?10020?
(0.1s?1)(s?5)(0.1s?1)(0.2s?1)由上式可知，该系统是0型系统，且K?20。
11,?,?。根据线性叠加原0型系统在1(t),t,t2信号作用下的稳态误差分别为：
21?K理有该系统在输入为r(t)?2t时的稳态误差为ess2?2????，该系统在输入为
r(t)?2?2t?t2时的稳态误差为ess2?2?1?2?????? 1?K （2） G(s)?5010?
s(0.1s?1)(s?5)s(0.1s?1)(0.2s?1)由上式可知，该系统是?型系统，且K?10。
11?型系统在1(t),t,t2信号作用下的稳态误差分别为：0,,?。根据线性叠加原理有
2K1该系统在输入为r(t)?2t时的稳态误差为ess2?2??0.2，该系统在输入为
K1r(t)?2?2t?t2时的稳态误差为ess2?20?2??
K??3-11已知闭环传递函数的一般形式为
误差定义为e(t)?r(t)?c(t)。试证，
（1） 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为 （2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为 （3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件 （4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系
解：（1）??(s)?a0
sn?an?1sn?1????a1s?a0 满足终值定理的条件， 即证 （2）??(s)?a1s?a0
sn?an?1sn?1????a1s?a0 满足终值定理的条件， 即证
(3) 对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为
同理可证
（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。 3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为：
（1）G(s)?50；
(0.1s?1)(2s?1)K；
s(s2?4s?200)10(2s?1)(4s?1) 22s(s?2s?10)（2）G(s)?（3）G(s)?试求位置误差系数Kp，速度误差系数Kv，加速度误差系数Ka。 解：
（1） 此系统是一个0型系统，且K?20。故查表可得Kp?K?10，Kv?0，Ka?0 （2） 根据误差系数的定义式可得 （3） 根据误差系数的定义式可得 3-13设单位反馈系统的开环传递函数 输入信号为 r(t)?(a?bt)?1(t)
其中K0, Km, Kf, i, Tf, Tm均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差ess
式中，K?K0KfKm/i,为系统的开环增益，各参数满足： K?0, (Tf?Tm)?KTmTf?0
即稳定条件为 0?K?Tf?Tm TfTm由于本例是I型系统，其Kp??, Kv?K,故在r(t)?(a?bt)?1(t)作用下，其稳态误差
ess?bb ??0 必有 K??K0于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条
件为
b?0?K0KfKm/i?Tf?TmTfTm
3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?1Ts。试用动态误差系数法求出当输入
信号分别为r(t)?t22时，系统的稳态误差。 解：
系统的误差传递函数为
所以有E(s)??e(s)?R(s)?Ts?R(s)?(Ts)2?R(s)?(Ts)3?R(s)?(Ts)4?R(s)?对上式进行拉氏反变换可得
e(t)?Tr(t)?Tr(t)?Tr(t)?T4r(4)(t)??2??3???
（1）
当r(t)?t22时，显然有
将上述三式代入（1）式，可得e(t)?T?t?T2?1?T3?0?T4?0?系统的稳态误差为ess?lime(t)?limT(t?T)??
t??t???T(t?T)
3-15 假设可用传送函数
C(s)1?描述温度计的特性，现在用温度计测量盛在容器内R(s)Ts?1的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的98%的数值。如果给容器加热，使水温依10/min的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大 解：
由题意，该一阶系统得调整时间ts?1min，但ts?4T，所以T?0.25min。 系统输入为r(t)?10t，可推得R(s)?10 2s因此可得 C(s)?110R(s)?2 Ts?1s(Ts?1)c(t)的稳态分量为css(t)?10t?10T
稳态误差为 ess(t)?r(t)?css(t)?10T?10?0.25?2.5 所以，稳态误差为2.5C
3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差E(s)在输入端定义，扰动输入n(t)?2?1(t).
(1) 试求K?40时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。 (2) 若K?20, 其结果又如何
1(3) 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节，对其结果有何影响
s1在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节，对其结果又有何影响
s图3-2 习题 3-16 示意图
解：令G1?K1 ，G2?，H?2.5
s?50.05s?1则C(s)?G2N(s)?G1G2E(s) 代入E(s)?R(s)?HC(s) 得 C(s)?G2G1G2N(s)?R(s)
1?G1G2H1?G1G2H令R(s)?0，得扰动作用下的输出表达式： 此时的误差表达式为：En(s)?R(s)?HCn(s)??若在s 右半平面上解析，则有 在扰动输入下的稳态输出为
G2HN(s)
1?G1G2H
胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案
