2000年上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题（每小题7分，共70分）
2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．
3 若n的十进制表示为99…9（共20位9），则n3的十进制表示中含有 个数码9。
4 在△ABC中，若AB=5，BC=6，CA=7，H为垂心，则AH=
5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是
6、若关于的方程|1-x|=mx有解，则实数m的取值范围
7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个．
二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分）
11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。
12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论． （2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论．
13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。
2000年上海市初中数学竞赛试卷详解
一、填空题（每小题7分，共70分）
2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．
3 若n的十进制表示为99…9（共20位9），则n3的十进制表示中含有 个数码9。
4 在△ABC中，若AB=5，BC=6，CA=7，H为垂心，则AH=
5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是
6、若关于的方程|1-x|=mx有解，则实数m的取值范围
7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个．
解：∵千位数与个位数之差的绝对值为2， 可得“数对”，分别是：（0，2），（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（5，7），（6，8），（7，9），
∵（0，2）只能是千位2，个位0， ∴一共15种选择，
∴从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有15×8×7=840个． 故答案为：840．
20002012年新知杯上海市初中数学竞赛试题及详解
