即e?g(?)(f?(?)?f(?)g?(?))?0，于是有f?(?)?f(?)g?(?)?0，与题设矛盾，
故在(a,b)内至多存在一点?，使得f(?)?0. 20. （本题满分11分）
设有抛物线?：y?a?bx，试确定常数a,b的值，使得 ⑴?与直线y?x?1相切；
⑵?与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大. 解 设切点为(x0,y0)，y???2bx，
211,y0?a?， 2b4b111代入切线方程，得a????1??4(1?a).⑴
4b2bbaaaa?ya?y2又旋转体体积V???xdy???dy???dy?2?(a2?a3)，
000bb2V??2?(2a?3a2)?0，解得a?0或者a?，V???2?(2?6a)，
322V??(0)?4??0,V??()??4??0，故a?时，体积V最大，
332323将a?代入⑴得b?，所以a?，b?.
3434切线斜率k??2bx0?1?x0??21.（本题满分11分）
一质量为m的物体以速度v0从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k?0），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物
体上升的最大高度.
解 根据牛顿第二定律，物体上升的高度y?y(t)所满足的微分方程为
d2y?dy?m2??mg?k??， dt?dt?初始条件为y(0)?0,y?(0)?v0.
2dvkv2dydv2v???mg?kv，??g?代入方程，得m，
dtmdtdtkdvdv??a2?b2v2，?2???dt， ，
mdta?b2v2bv1bv1arctan??t?C，t?0时，v?v0，故C?arctan0， 积分得abaaba记a?g,b?226 / 8
bv1bv1arctan??t?arctan0， abaaba令v?0，得上升到最高点的时间为t1?bv1arctan0 abaarctanbva?ab(t1?t)，v?tanab(t1?t) ab上升的最大高度为y??t102b2v0a11t1tanab(t1?t)dt?2lncos[ab(t1?t)]0?2ln(1?2). bb2ba22. （本题满分11分）
设?1??1,2,3,1?,?2??1,1,2,?1?,?3??1,3,a,3?,?4??3,5,7,?1?,???0,1,1,b?. ⑴当a,b满足什么条件时，?可由?1,?2,?3,?4线性表示，且表示式唯一？
⑵当a,b满足什么条件时，?可由?1,?2,?3,?4线性表示，且表示式不唯一？并求出?的表示式.
解 设x1?1?x2?2?x3?3?x4?4?? ⑴，其增广矩阵
TTTTT?11?21(?1,?2,?3,?4,?)???32??1?110??1??351??0~?a71?0??3?1b??0310??1?11?1? ?0a?4?10?00?2b?2?13⑴当a?4时，r(?1,?2,?3,?4,?)?r(?1,?2,?3,?4)?4，方程组⑴有唯一解，即?可由
?1,?2,?3,?4线性表示，且表示式唯一.
?1?0⑵当a?4时，(?1,?2,?3,?4,?)~??0??010??1?11?1?，
00?10??000b?2?13故当a?4,b?2时，r(?1,?2,?3,?4,?)?r(?1,?2,?3,?4)?3，方程组⑴有无穷多解，即
?可由?1,?2,?3,?4线性表示，且表示式不唯一，
?1?0?(?1,?2,?3,?4,?)~?0??0通解为(1,?1,0,0)T1??x1?1?2x3?x??1?x?1?10?1??23，同解方程组为?，
0010?x?x3?3??0000??x4?0020?k(?2,1,1,0)T，
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故?的表示式为??(1?2k)?1?(k?1)?2?k?3，其中k为任意常数. 23. （本题满分11分）
设A,P为n阶矩阵，P可逆，且AP?PA，证明：
⑴若?是A的特征向量，则P?也是A的特征向量；
⑵若A有n个不同的特征值，?是A的特征向量，则?也是P的特征向量.
证 ⑴证 设A????，则A(P?)?P(A?)?P(??)??(P?)，故P?也是A的特征向量
⑵由A有n个不同的特征值知，A的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又?,P?是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，故存在常数c，使得P??c?，故?也是P的特征向量.
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考研数学模拟试题数学二
