【答案】（1）见解析；（2）25. 5【解析】（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD. 因为BC⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD, 故BC⊥DM.
?上异于C，D的点,且DC为直径， 因为M为CD所以 DM⊥CM. 又 BCICM=C, 所以DM⊥平面BMC. 而DM?平面AMD, 故平面AMD⊥平面BMC.
（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.
uuur
?的中点. 当三棱锥M?ABC体积最大时，M为CD由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，
uuuuruuuruuurAM?(?2,1,1),AB?(0,2,0),DA?(2,0,0)
设n?(x,y,z)是平面MAB的法向量,则
uuuur??n?AM?0,??2x?y?z?0, r即??uuu?2y?0.??n?AB?0.可取n?(1,0,2).
uuurDA是平面MCD的法向量,因此
uuuruuurn?DA5uuur?cosn,DA?， |n||DA|5uuur25， sinn,DA?5所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是
25. 511．【2018年高考江苏卷】如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
【答案】（1）3105；（2）．
520【解析】如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，uuuruuuruuuurOO1⊥OB，以{OB,OC,OO1}为基底，建立空间直角坐标系O?xyz．
因为AB=AA1=2，
所以A(0,?1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,?1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2)．
（1）因为P为A1B1的中点，所以P(31,?,2)， 22uuuruuuur31从而BP?(?,?,2),AC1?(0,2,2)，
22uuuruuuuruuuruuuur|BP?AC1||?1?4|310ruuuur??故|cosBP,AC1|?uuu．
20|BP|?|AC1|5?22因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为（2）因为Q为BC的中点，所以Q(310． 2031,,0)， 22uuuuruuuuruuur33因此AQ?(,,0)，AC1?(0,2,2),CC1?(0,0,2)．
22设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， uuur?33?AQ?n?0,x?y?0,??r 则?uuuu即?22AC?n?0,??2y?2z?0.?1?不妨取n?(3,?1,1)，
设直线CC1与平面AQC1所成角为?，
uuuuruuuur|CC1?n|25r??则sin??|cosCC1,n|?uuuu，
5|CC1|?|n|5?2所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为5． 512．【2018年高考江苏卷】在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AB,AB1?B1C1．
求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1?平面A1BC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因为AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形． 又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC． 因为AB1?平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
13．【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，
A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）39. 13【解析】方法一：（1）由AB?2,AA1?4,BB1?2,AA1?AB,BB1?AB得AB1?A， 1B1?22222所以A1B1?AB1?AA1.
故AB1?A1B1.
由BC?2，BB1?2,CC1?1,BB1?BC,CC1?BC得B1C1?5， 由AB?BC?2,?ABC?120?得AC?23，
222由CC1?AC，得AC1?13，所以AB1?B1C1?AC1，故AB1?B1C1.
因此AB1?平面A1B1C1.
（2）如图，过点C1作C1D?A1B1，交直线A1B1于点D，连结AD.
专题06 立体几何(解答题) -三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编(带解析)
