⑴. 1?2?22?L?29= ; ⑵. 3?32?L?310 = ;
⑶.求1?a?a2?L?an的和（a?0 ，n是正整数，请写出计算过程 ）. 考点：规律型探究、数式变形、整体思想、实数的运算. 分析：
本题参照例子的解法主要利用整体思想结合数式变形进行巧算. 略解：
⑴. 设S?1?2?22?L?29 ①
则2S?2?22?L?210 ②
②-①得 2S?S?210?1
∴S?1?2?22?L?29?210?1;故应填：
210?1 . ········ 2分
⑵. 设S?3?32?L?310 ①
则3S?3?32?L?311 ②
②-①得 3S?S?S?311?1
∴S?3?32?L?310?311?1 ;故应填：
311?122 . ········ 5分
⑶. 设S?1?a?a2?L?an ①
则aS?a?a2?a3?L?an?1 ②
②-①得 aS?S??a?1?S?an?1?1
∴S?1?a?a2?L?an?an?1?1a?1 . ················· 10分
25.（本题满分12分）
⑴.如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将?BDE绕着点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. ①.线段DB和DG的数量关系是 ； ②.写出线段BE、BF和DB之间的数量关系.
⑵.当四边形ABCD为菱形，?ADC?60o，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将?BDE绕着点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①.如图2，点E在线段上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②.如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M；若 BE?1,AB?2,直接写出线段GM的长度. G GF
GF
FDCDCDC
考点：旋转的特征，正方形以及菱形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形以及直角三角形的性质，勾股定理等. 分析：
本题的⑴问的①直接根据旋转特征可以得出答案；本题的⑴问的②利用旋转的特征和全等三角形把BE、BF转为等腰直角△BDG的斜边,再利用勾股定理或者三角函数可以解决问题；本题的⑶问的①和⑴问的②的思路是一样的，利用旋转的特征和全等三角形把BE、BF转为等腰△BDG的底边BG，再作底边BG上的高线，再利用勾股定理或者三角函数解决问题；本题的⑵的②主要利用旋转的特征、全等三角形、相似三角形分别求出线段GF、CF、CM，再把它们加起来求出线段GM的长. 略解：
⑴.①.根据旋转的特征直接可以得出DB?DG . 故应填：
DB?DG;
· 2分
②.根据旋转的特征可知△DEB≌△DFG ∴BE?FG ∴BE?BF?GF?BF?BG.
容易证明△BDG是等腰直角三角形，利用勾股定理或三角函数可以求出BG?2BD ,
即 BE?BF?2BD. ······················ 4分 ⑵.①.BE?BF?3BD. ······················ 5分
理由如下：
∵四边形ABCD菱形
∴?ABD??CBD?12?ABC?30o 由旋转120°可得:?EDF??BDG?120o
∴?EDF??BDF??BDG?BDF 即?FDG??BDE
在△DBGG中,?G?180o??BDG??DBG?30o
∴?DBG??G?30o ∴BD?DG
∴△BDE≌△GDF（ASA ）
∴BE?GF ∴BE?BF?BF?GF?BG ················ 8分 如图所示：过点D作DH?BG点H ∵BD?DG∴BG?2BH
在Rt △BHD中?DBM?30o ∴BD?2DH
设DH?m，则BD?2m,BH?3m
6
∴BG?23m
∴
BG2BD?3m2m?3 ∴BF?BE?3BD. ·························· 10分
②.GM的长度为193 . ························· 12分
理由：
根据旋转的特征容易证明△DEB≌△DFG ∴FG?BE?1；同时利用菱形的性质和旋转的特征并结合条件中的“?ADC?60o，将?BDE绕着点D逆时针旋转120°”可以退推出
?CDF?90o,?GFD?30o ∴CF?2CD?2AB?4;
由菱形可得出DC∥AE ∴△BEM∽△CDM ∴BMCM?BECD?12 ∴CM?243BC?3
∴GM?GF?CF?CM?1?4?4193?3.（根据题目要求答卷时可不写理由.）
点评：
本题是由旋转建立起来的图形；利用旋转的特征得出全等三角形、等腰三角形含特殊角的直角三角形，以此为突破口，并在此基础探究线段之间的数量关系.本题虽然难度不大，但串联起了初中几何部分的多个重要知识点，是一道高质量的中考题.
26.（本题满分14分）
如图，已知直线AB与抛物线C：y?ax2?2x?c 相交于A??1,0?和点B?2,3?两点.
⑴.求抛物线C的函数表达式；
⑵.若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时，求此时四边形MANB的面积S及点M的坐标；
⑶.在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y?174的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：二次函数的图象及其性质、待定系数法、数学的建模思想、勾股定理、距离公式等. 分析：
本题的⑴利用“待定系数法”即可求出二次函数的解析式；本题的⑵抓住建立平行四边形的面积是△ABM的2倍，所以以△ABM的面积建立一个二次函数来求出其最大面积，再进一步求出平行四边形的最大面积；本题的⑶问主要先假设存在，再在此基础上从特殊点切入利用距离公式进行探究其存在的可能性. 略解：
y⑴. ∵A??1,0?和点B?2,3?两点在抛物线y?ax2?2x?c上 MBy?174 AOx∴??a?2?c?0?4a?4?c?0
解得??a??1c?3
?∴抛物线C的表达式为：y??x2?2x?3 ····· 4分
⑵. 设直线AB的解析式为y?kx?b
∵A??1,0?和点B?2,3?在直线AB上
∴???k?b?0?2k?b?3 解得??k?1?b?1 ∴直线AB的解析式为y?x?1 ····· 5分
如图所示，过M作MN?x轴交AB于N
设M?a,?a2?2a?3? ，则N?a,a?1? （?1?a?2 ）
∴MN?yM?yN???a2?2a?3???a?1???a2?a?2，
∴S△ABM=S△AMN+BMN=
12?xB?xA??MN ∴S△ABM=13?1?272?3???a2?a?2?2??2??a?2???8
∴当a?12 ，△ABM的面积有最大值278 ··············· 8分
∴S△ABM=27□MANB=2S?17?4 ，此时M??2,2??. ·············· 9分
⑶.存在.F??15??1,4?? . ························
10分 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D?1,4? ；则顶点D到直线y?174的距离为14；
设F?1,m?，再设P?x,?x2?2x?3?
设P到直线y?1717??54的距离为PG,则PG?4??x2?2x?3?x2?2x?4 ∵P为抛物线上任意一点都有PG?PF
∴当P与顶点D重合时，也有PG?PF;则PG?11714 ,即顶点D到直线y?4的距离为4 .
∴PF?DF?14 ，此时m?4?1154?4
7
∴F??1,15??4?? ······························ 12分 ∵PG?PF ∴PG2?PF2
22∵PF2??x?1?2???15?4?x2?2x?3??2?3????x?1????x2?2x?4??，
2PG2????x2?2x?5?4??
∴?x?1?2?3?2?5?2???x2?2x?4?????x2?2x?4??
整理化简可得0x?0∴当F???1,15?4??时，无论x取任何实数，均有PG?PF. ·· 14分
点评：
本题的⑴问利用待定系数法即可获得解决；本 题⑵问是数学建模思想的运用，本问比较巧妙的是 要通过三角形的面积的最大值来求平行四边形的最 大值；三角形采用了割补法中的“割”办法切入来 表示面积，再通过二次函数求“最值”.本题的⑶ ?x,?x2?2x?3?问对于绝大多数学生来说具有一定的挑战性，实际 上这里渗透特殊到一般的数学原理，即点P与抛物 线顶点重合到在抛物线上任一点处来探究.同学们平 时要有一定数学功底才能在有限的时间内破题.
x?1
以上考点分析解答，仅供参考！
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四川省自贡市2019年中考数学真题试题(含解析)
