意的是先确定集合A，之后需要对B进行讨论，分其为空集与不是空集两种情况. 18．已知集合A={x|1＜x＜6}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5-a＜x＜a}． （1）求A∪B，（?RA）∩B；
（2）若C?B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）A∪B={x|1＜x＜10};（?RA）∩B={x|6≤x＜10}(2) （-∞，3] 【解析】（1）进行并集、交集和补集的运算即可；
（2）根据C?B，可讨论C是否为空集：C＝?时，5﹣a≥a；C≠?时，
，这样
即可得出实数a的取值范围． 【详解】
解：（1）A∪B={x|1＜x＜10}，?RA={x|x≤1或x≥6}； ∴（?RA）∩B={x|6≤x＜10}； （2）∵C?B； ①C=?时，5-a≥a； ∴
；
；
②C≠?时，则
解得；
综上得，a≤3；
∴a的取值范围是（-∞，3]． 【点睛】
本题考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集的定义． 19．已知函数（1）求，的值； （2）求函数【答案】（1）
在区间
上的最值. ，最大值4．
满足
.
； （2）最小值
【解析】（1）根据题中所给的函数解析式，将对应变量代入，得到
，利用对应项系数相等，得到
量关系式，求解即可； （2）根据题意，确定函数【详解】
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的解析式，将其配方，结合所给的区间，求得结果.
所满足的等
（1）因为所以
，
所以
解得
．
．
．
（2）由（1）可知：所以当当
时，时，
取最小值
；
取最大值4．
【点睛】
该题考查的是有关函数解析式的求解，以及二次函数在某个闭区间上的最值的问题，涉及到的知识点有应用待定系数法求已知函数类型的函数解析式，利用配方法求二次函数在某个区间上的最值，注意分析对称轴与区间的关系. 20． 已知函数f(x)?x2?2(a?1)x?4.
（Ⅰ）若f(x)为偶函数，求f(x)在??1,2?上的值域；
（Ⅱ）若f(x)在区间???,2?上是减函数，求f(x)在1,a上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2a
【解析】（I）根据函数为偶函数，利用f??x??f?x?求得a的值.根据x的取值范围求得函数值的取值范围.（II）根据二次函数的对称轴判断出函数f?x?在区间1,a上的单调性，比较f?1?,f?a?的函数值，由此求得f?x?在1,a上的最大值. 【详解】
（Ⅰ）因为函数f?x?为偶函数，故f??x??f?x?，得a?1.f?x??x?4，因为
2???????1?x?2，所以4?f?x??8,故值域为：[4,8].
（Ⅱ）若f?x?在区间???,2上是减函数，则函数对称轴x?a?1?2,a?3 因为1?a?1?a，所以x?1,a?1时，函数f?x?递减，a?1,a时，函数f?x?递增，故当x?1,a时，f?x?max?f?1?,f?a? ，
??????????f?1??7?2a,f?a???a2?2a?4，
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f?1??f?a???7?2a???a2?2a?4?a2?4a?3??a?2??1
由于a?3,f?1??f?a??0,?f?1??f?a? ，故f?x?在1,a上的最大值为7-2a. 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数的值域，考查二次函数的单调区间，属于中档题.
21．已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=-x2+ax. （1）若a=-2，求函数f (x)的解析式； （2）若函数f (x)为R上的单调减函数， ①求a的取值范围;
②若对任意实数m,f (m-1)+f (m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.
??2???x2?2x,x?0【答案】(1) f(x)??2.
??x?2x,x?0(2) ①a≤0. ②t> 【解析】【详解】
（1）当x?0时，?x?0，又因为f(x)为奇函数， 所以f(x)??f(?x)??(?x?2x)?x?2x
225. 4x2?2x x?0 所以f(x)?{2?x?2x x?0（2）①当a?0时，对称轴x?a?0，所以f(x)??x2?ax在[0,??)上单调递减， 2由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f(x)在(??,0)上单调递减， 又在(??,0)上f(x)?0，在(0,??)上f(x)?0， 所以当a?0时，f?x?为R上的单调递减函数 当a>0时，f?x?在?0,
??a??a?,??上递增，在???上递减，不合题意
2?2??所以函数f?x?为单调函数时，a的范围为a?0…
②因为f(m?1)?f(m2?t)?0，∴f(m?1)??f(m2?t)
2所以f(x)是奇函数，∴f(m?1)?f(?t?m)
又因为f(x)为R上的单调递减函数，所以m?1??t?m2恒成立，
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所以t??m?m?1??(m?)?212255恒成立， 所以t? 4422．已知函数f?x?对任意的实数m,n都有f?m?n??f?m??f?n??1,且当x?0时,有f?x??1. (1)求f?0?;
(2)求证:f?x?在R上为增函数;
(3)若f?1??2,且关于x的不等式f?ax?2??fx?x立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)1 (2)见解析(3)??,23?1 【解析】(1) 令m?n?0，代入计算得到答案.
(2) 任取x1，x2?R，且x1?x2，计算得到f?x2??f?x2?x1??f?x1??1?f?x1?得到证明.
(3)化简得到fax?2?x?x?2??3对任意的x??1,???恒成
???2??f?1?，根据函数的单调性得到x??a?1?x?3?02对任意的x??1,???恒成立，讨论【详解】
a?1a?1?1和?1两种情况计算得到答案. 22(1)令m?n?0，则f?0??2f?0??1?f?0??1.
(2)任取x1，x2?R，且x1?x2，则x2?x1?0，f?x2?x1??1.
f?m?n??f?m??f?n??1，
?f?x2??f???x2?x1??x1???f?x2?x1??f?x1??1?1?f?x1??1?f?x1?，
?f?x2??f?x1??f?x?在R上为增函数.
(3)
f?ax?2??f?x?x2??3，即f?ax?2??f?x?x2??1?2，
?f?ax?2?x?x2??2又
f?1??2?f?ax?2?x?x2??f?1?.
f?x?在R上为增函数?ax?2?x?x2?1，
?x2??a?1?x?3?0对任意的x??1,???恒成立.
令g?x??x??a?1?x?3?x?1?，只需满足g?x?min?0即可
2当
a?1?1，即a?1时，g?x?在?1,???上递增，因此g?x?min?g?1?， 2第 14 页 共 15 页
由g?1??0得a?3，此时a?1；
当
a?1?a?1??a?1?g?1，即a?1时，g?x?min?g?，由????0得
222?????23?1?a?23?1，此时1?a?23?1.
综上，实数a的取值范围为??,23?1. 【点睛】
本题考查了抽象函数的函数值，单调性，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.
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2024-2024学年黑龙江省黑河市嫩江县高级中学高一第一次月考数学试题(解析版)
