高等数学（一）教案期末总复习
第七章常微分方程
1．基本概念：通解，特解，初始条件2．可分离变量的微分方程3．齐次方程（简单类型）
4．一阶线性方程：公式法（掌握交换自变量与因变量类型）5．二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程法求通解
6．二阶常系数非齐次线性微分方程（非齐次特解与齐次通解关系，
正确的设出特解）
第八章向量与解析几何
向量代数
定义向量模
定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
uuur
有大小、有方向. 记作a或AB
向量a的模记作
a
axi
axa
rprjxa,ay
ax
2
ayjazk
rprjya,az
az
2
(ax,ay,az)
rprjza
a
ay
2
和差
c
c
ab0，则ea
aa
c
a－b
ea
ab
axbx,ayby,azbz
单位向量
a
(ax,ay,az)ax
2
ay
2
az
2
方向余弦
设a与
x,y,z轴的夹角分别为
，，
cos
，
ax
r，cosa
2
2
ay
r，cosa
azra
则方向余弦分别为
cos，cos，cos
eacos
2
(cos，cos，cos)+cosaxbxi
cosaybyjayby
kazbz
ayby
azbz
0
1azbz
点乘（数量积）
ab
角
abcos，absin
为向量a与b的夹
ab
叉乘（向量积）
c
cab
为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直
定理与公式
ab
axbx
垂直平行
ababab
cos
00
abab
cos
ab
axbx
a//b
两向量夹角余弦
a//b
axbx
axbxay
2
ayby
aybyaz
2
azbz
azbzbx
2
交角余弦
ax
2
by
2
bz
2
- 2 -
高等数学（一）教案期末总复习
向量a在非零向量
投影
prjba
b上的投影
ab
acos(ab)
b
prjba
axbx
bx
2
aybyby
2
azbzbz
2
平面
法向量n方程名称一般式点法式
直线
点M0(x0,y0,z0)
方向向量T方程名称
{A,B,C}
{m,n,p}
A1xA2x
点M0(x0,y0,z0)B1yB2y
C1zC2z
D1D2
00
方程形式及特征方程形式及特征
AxA(xxx0)x1x1x1
ByB(yyy2y3xa
yb
CzD0
0
一般式
y0)C(zz0)y1y1y1
zczz1z2z31
0z1z1
0
点向式
x
x0m
xyz
yn
y0x0y0z0
mtntpty0y0n1n2
zp
z0
三点式
x2x3
参数式
截距式面面垂直面面平行
两点式线线垂直线线平行
xx1
x0x0m1m2Am
yy1n1n2
zz1p1p2
z0z00
A1A2
A1A2
B1B2
B1B2BnBy
C1C2C1C2CpCz
D
m1m2p1p2
线面垂直
Am
点面距离
线面平行
BnCp0
面面距离
M0(x0,y0,z0)
Ax0AxByCz
D1
0AxBy
2
Cz
D2
0
d
Ax0
A
面面夹角
By0
2
Cz0
2
D
2
BC
d
线线夹角
D1A
2
D2B
2
C
线面夹角
n1{A1,B1,C1}n2
cos
|A1A2
A
21
21
21
{A2,B2,C2}
BC1C2|1B2
2
2
2
2
s1
cos
{m1,n1,p1}
m1m2m
21
21
s2
n1n2p
21
{m2,n2,p2}
p1p2m
22
22
22
s
sin
{m,n,p}
A
2
n
2
{A,B,C}
2
2
2
AmBnCpB
2
BCA2BC2nnp
Cmnp
xy
空间曲线：
(t)，(t)，(t)，t
)
切向量
切“线”方程：
x
x0(t0)
y
y0(t0)
z
z0(t0)
z(
T
((t0),(t0),(t0))
法平“面”方程：
(t0)(xx0)
x
(t0)(y
x01
y0)
y
y0(x0)
(t0)(z
z
z0(x0)
z0)0
切“线”方程：
yz
(x)(x)
切向量
T(1,(x),(x))
法平“面”方程：
(x
x0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)
0
- 3 -
高等数学（一）教案期末总复习
切平“面”方程：
法向量
F(x,y,z)
空间曲面：
0
rn
Fx(x0,y0,z0)(xFx(x0,y0,z0)(z
法“线“方程：
x0)z0)
Fx(x0,y0,z0)(y0
y0)
(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))
xx0yy0zz0
rn
Fx(x0,y0,z0)
(
fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)
切平“面”方程：fx(x0,y0)(x法“线“方程：
x0)
Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0
zf(x,y)
或
rn
(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)
第九章
x
x0
y
y0
z
z01
fx(x0,y0)fy(x0,y0)
多元函数微分法及其应用
（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、3、4、5、
多元函数：极限：连续：
(x,y)
zlim
f(x,y)，图形：
(x0,y0)
f(x,y)f(x,y)
Af(x0,y0)
f(x0,y0)f(x0,y0)
(x,y)
lim
(x0,y0)
偏导数：
fx(x0,y0)fy(x0,y0)
lim
x
f(x0f(x0,y0
0
x,y0)
x
y)y
0
lim
y
6、全微分：设
z
f(x,y)，则dz
zx
dx
zy
dy
（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
1
2
偏导数连续
充分条件
函数可微
必要条件
2
4
偏导数存在
定义
3
函数连续
- 4 -
高等数学（一）教案期末总复习
2、3、1）2）若
闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）微分法定义：
复合函数求导：链式法则
u
z
zx
f(u,v),u
zu
u(x,y),v
vx
，
v(x,y)，则
zu
uy
zv
vy
u
z
x
ux
zv
zy
3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）
v y
（三）应用1、极值
1）
无条件极值：求函数
z
f(x,y)的极值
fx
0解方程组
f0
求出所有驻点，对于每一个驻点
(x0,y0)，令
y
A
fxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，
①若
ACB2
0，A0，函数有极小值，若ACB
2
0，A0，函数有极大值；②若ACB
2
0，函数没有极值；③若ACB
2
0，不定。2）条件极值：求函数z
f(x,y)在条件(x,y)0下的极值
令：
L(x,y)
f(x,y)(x,y)
——— Lagrange函数
Lx
0解方程组
Ly
0(x,y)
0
2、
几何应用
1）
曲线的切线与法平面
x
x(t)曲线
:yy(t)，则上一点
M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的
z
z(t)
x
x0
y
y0
z
z0
切线方程为：x(t0)y(t0)z(t0)
法平面方程为：x(t0)(x
x0)
y(t0)(y
y0)
z(t0)(z
2）
曲面的切平面与法线
- 5 -
z0)
0
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曲面
:F(x,y,z)0
，则上一点
M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：
Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(y
x
法线方程为：
y0)
y
Fz(x0,y0,z0)(zz0)
y0
z
z0
Fz(x0,y0,z0)
0
x0
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)
第十章重积分
重积分
积分类型
（1）
计算方法
典型例题
bad
2
利用直角坐标系
X—型
D
f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy
D
dxdy
(x)
1(x)
f(x,y)dyf(x,y)dx
课上的例题及课后作业
Y—型
二重积分
（2）利用极坐标系使用原则
2
(y)
c
1(y)
I
D
fx,yd
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示
平面薄片的质量
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单
( 含(x
2
( 含圆弧,直线段 )；
y),
2
为实数 )
质量=面密度
面积
f(cos,
D
sin)ddf(cos,
sin)d
d
2
()
1()
0202
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）
0I
2
D1
f(x,y)对于x是奇函数，即f(x,y)
f(x,y)
应用该性质更方便
f(x,y)dxdyf(x,y)对于x是偶函数，
即f(x,y)
f(x,y)
D1是D的右半部分
计算步骤及注意事项
1．画出积分区域2．选择坐标系
标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
- 6 -
(完整版)高数下册复习资料
