2016-2017学年高中数学 第一章 数列本章高效整合 北师大版必修
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第( ) A．12项 C．14项
解析： 3＝9，33＝27，…， 被开方数成等差数列， ∴81＝3＋(n－1)·6，∴n＝14. 答案： C
2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝( ) A．45 C．75
B．50 D．60 B．13项 D．15项
解析： 由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150， ∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50. ∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50. 答案： B
3．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( ) A．－4 C．－8
2
B．－6 D．－10
2
解析： 由题可知，a3＝a1·a4?(a1＋4)＝a1·(a1＋6)?a1＝－8?a2＝－6. 答案： B
11
4．已知等比数列{an}中，a2＝，a4＝，则a10＝( )
24A.
1
16
1
32
B.11621 64
C.D.
1
解析： 易知a2，a4，a6，…，a10也成等比数列，则将a2作为数列的首项，q＝，a10
2＝a2q5－1
1＝. 32
答案： C
1
5．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值为( )
A．12 C．8
B．10 D．2＋log35
5
解析： log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3a1·a2·…·a10＝log3(a5a6)＝5log39＝10. 答案： B
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( ) A．7 C．15
解析： 4a2＝4a1＋a3， ∴4·a1×q＝4×1＋1×q. ∴q＝2. 1×∴S4＝
1－21－2
4
2
B．8 D．16
＝15.故选C.
答案： C
7．等差数列18,15,12，…的前n项和的最大值为( ) A．60 C．66
B．63 D．69
解析： 通项公式为an＝21－3n，令an＝0得n＝7，所以Sn的最大值为S7＝S6＝0＋18×7
＝63.
2答案： C
8．某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额为______元．(不包括a元的投资)( )
A．4a(1.06－1) C．0.24a(1＋6%)
n－1
nB．a(1.06－1) D．4(1.06－1)
nn
解析： 设n年后他拥有的红利与利息之和为an元．则
a1＝a·24%＝0.24a；
a2＝a·24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24a·1.06； a3＝a·24%＋a2·1.06
＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.06； …
2
an＝0.24a＋0.24a·1.06＋0.24a·1.062＋…＋0.24a·1.06n－1
＝0.24a(1＋1.06＋1.06＋…＋1.06
2
n－1
)
2
1－1.06n＝0.24a·＝4a(1.06－1)．
1－1.06答案： A
9．如果将2,5,10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公比是n )
A.1
B.32 2 C.4
3
D.53
解析： 依题意得(5＋t)2
＝(2＋t)(10＋t)，解得t＝2.5， 所以公比q＝5＋2.55
2＋2.5＝3.
答案： D
10．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9等于( ) A．30 B．40 C．60
D．80
解析： 由a2＋2a6＋a10＝4a6＝120得a6＝30， 所以a3＋a9＝2a6＝60. 答案： C
11．设S111
1n＝2＋6＋12＋…＋
nn＋1，且S·S3
nn＋1＝4
，则n的值为( A．6 B．7 C．8 D．9
解析： ∵a1n＝
nn＋1＝1n－1n＋1
， ∴S?1?1－2???＋??11?2－3??1?＋??1?3－14???＋…＋??1
n＝??n－n＋1???
＝1－1n＋1＝nn＋1
. 由SS3nn＋13
n·n＋1＝4得n＋1×n＋2＝4，
即
n3n＋2＝4
. ∴n＝6，故选A. 答案： A
12．数列1,2＋111111
2，3＋2＋4，…，n＋2＋4＋…＋2
n－1的前n项和为( ) )
3
( ?1?n－1
A．n＋1－??
?2?
1211
C.n＋n＋n－1－2 222
1231
B.n＋n＋n－1－2 2221
D．n＋n－1－1
2
11－n22111
解析： 此数列的第n项为an，则a1＝1，当n≥2时，an＝n＋＋＋…＋n－1＝n＋
2421
1－211
＝n＋1－n－1，也适合n＝1，故an＝n＋1－n－1.
22
∴该数列的前n项和
Sn＝?1＋1－0?＋?2＋1－1?＋?3＋1－2?＋…＋?n＋1－n－1?
2222
?
?
1?
???
1??
??
1?
?
??
1?
?
1??11
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n－?1＋＋2＋…＋n－1?
2??22
＝
n1
1－n2123n＋11
＋n－＝n＋n＋n－1－2. 21222
1－2
答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
a11－q6a11－q3
解析： ∵S6＝4S3，∴q≠1，及＝4，
1－q1－q∴q＝3，a4＝a1·q＝1·3＝3. 答案： 3
14．等差数列{an}中，a1＝70，d＝－9，则数列中绝对值最小的项是第________项． 解析： an＝－9n＋79，n≤8时，
3
3
an＞0；n≥9时an＜0，且a8＝7，a9＝－2，
∴绝对值最小的项为a9. 答案： 9
15．某电脑公司计划在2011年5月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销售量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该公司5月1日至5月10日的平均日销售量是________台．
解析： 设第一个10天每天销售a台，则第二个10天每天销售(a－2)台，第三个10天每天销售(a－4)台，第四个10天每天销售(a－6)台，
由题意得，10a＋10(a－2)＋10(a－4)＋8(a－6)＝500，
4
a＝16.
答案： 16
16．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 008＋a2 009＞0，a2 008·a2 009＜0，则使数列{an}的前n项和Sn为正数的最大自然数n是________．
解析： 由条件可知，等差数列{an}单调递减，
a2 008＞0，a2 009＜0.
考虑a2 008＋a2 009＞0及等差数列性质知
a1＋a4 016
2
×4 016＝
a2 008＋a2 009
2
×4 016＞0，
即S4 016＞0；
考虑a2 009＜0及等差数列性质知
2a2 009a1＋a4 017
×4 017＝×4 017＜0， 22即S4 017＜0，故满足题意得n＝4 016. 答案： 4 016
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2010·全国Ⅰ改编)记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求an.
解析： 设数列{an}的公差为d，依题设有
??2a1a3＋1＝a2，?
?a1＋a2＋a3＝12，?
2
??a1＋2a1d－d＋2a1＝0，
即?
?a1＋d＝4.?
22
解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4，
∴an＝1＋(n－1)×3或an＝8＋(n－1)×(－4)， 即an＝3n－2或an＝－4n＋12.
131
18．(本小题满分12分)求数列1，2，5，…，(2n－1)＋
248(－1)
n－1
1
·n，…的前n项和． 2
解析： Sn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋
?1－1＋1－…＋－1?248?
nn－1
1?n? 2?
＝
1??－1?n?1－??2??2????1＋2n－1＋
21
1＋2
5
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