第七章 非线性控制系统分析
练习题及答案
7-1 设一阶非线性系统的微分方程为
???x?x3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
??0 得 解 令x?x?x3?x(x2?1)?x(x?1)(x?1)?0
系统平衡状态
xe?0,?1,?1
其中：xe?0 ：稳定的平衡状态；
xe??1,?1 ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
x -2 -1 ?13 0 13 1 2 ? -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 xx 11 2 0 ?? 1 0 2 11 图解7-1 系统相轨迹
可见：当x(0)?1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)?1时，系统发散；x(0)??1时，x(t)???; x(0)?1时，x(t)??。
?~x平面上任意分布。 注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x
7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
??x?0 x?x (1) ?? (2) ??1?x1?x2?x
?2?2x1?x2?x 解 （1） 系统方程为
可复制、编制，期待你的好评与关注！
???x??x?0(x?0)x??:?
??x??x?0(x?0)x???:?令x?x?0，得平衡点：xe?0。 系统特征方程及特征根：
?132?:s?s?1?0,s???j?1,2 ?22???:s2?s?1?0,s??1.618,?0.6181,2??dx???f(x,x?)??x??x,???x??xxxdx
x?dx?1??????1?,xx??x?dxx1????I: ???II:??(稳定的焦点)(鞍点)
???1???11?(x?0)
??1(x?0)计算列表 ? x?0: x?0:
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。
-∞ -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 ∞ ???1?1? -1 -2/3 0 2 -∞ -4 -2 -4/3 -1 ???1?1? -1 -4/3 -2 -4 ∞ 2 0 -2/3 -1 可复制、编制，期待你的好评与关注！
图解7-2（a）系统相平面图
?1?x1?x2 ① （2） x?2?2x1?x2 ② x?1?x1 ③ 由式①： x2?x?1)?2x1?(x?1?x1) 式③代入②： (??x1?x?1?x1?0 ④ 即 ??x1?2x?1?0 令 ??x1?x得平衡点： xe?0 由式④得特征方程及特征根为 s2?2s?1?0画相轨迹，由④式
?1,2?2.414（鞍点） ????0.414?1dx?1??2x?1?x1 ?xdxx?1?1 x??2?1 ??x1?x 计算列表
可复制、编制，期待你的好评与关注！
? ?=1/(?-2) 2 ∞ 2.5 2 3 1 ∞ 0 1 -1 1.5 -2 2 ∞ 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。
x?sinx?0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制7-3 已知系统运动方程为 ??相平面图。
??0 得 x?x 解 求平衡点，令??sinx?0
平衡点 xe?k?(k?0,?1,?2,?)。
将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。 设 F(x)???x?sinx?0
?F?F???x????x???xxe?x?0
xe ???x?cosxe??x?0
???x?0x??? ????x?0x???特征方程及特征根：
2 k为偶数时 s?1?02 k为奇数时 s?1?0xe?k?xe?k?(k?0,?2,?4,?)(k??1,?3,?5,?)
?1,2??j （中心点） ?1,2??1 （鞍点）
用等倾斜线法作相平面
?dx????sinx?0?sinx?xdx
1??sinxx?x? ? -1/? -2 -1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 2 1/2 1 2 4 ∞ -4 -2 -1 -1/2 作出系统相平面图如图解7-3所示。
可复制、编制，期待你的好评与关注！
7-4 若非线性系统的微分方程为
??0.5)x??x?x2?0 (1) ??x?(3x??x?0 x?xx (2) ??试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解（1） 由原方程得
?)??(3x??0.5)x??x?x2??3x?2?0.5x??x?x2 ??x?f(x,x?1?0 令 ??x1?x得 x?x2?x(x?1)?0 解出奇点 xe?0,在xe?0处：
?1
在奇点处线性化处理。
??x?
?)?f(x,x?xx?0??0x?x??)?f(x,x?xx?0??0x??x
??0.5)x?x??0?x???x?0.5x??(?1?2x)x?x??0?x?(?6x??x?0 x?0.5x即 ??特征方程及特征根
0.5?0.52?4?0.25?j0.984 （不稳定的焦点） s1,2?2 在xe??1处
可复制、编制，期待你的好评与关注！
自动控制原理考试试题第七章习题及答案
