第3讲 数列的综合问题
[考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．
热点一 利用Sn，an的关系式求an 1．数列{an}中，an与Sn的关系
??S1，n＝1，an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
2．求数列通项的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.
(3)在已知数列{an}中，满足列的通项an.
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
例1 已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：
an＋1
＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数anbn＋1＝Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解 (1)∵a2＝2，a3＋a5＝8，
∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N)． ∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N)，① ∴bn＝Sn－1＋2(n∈N，n≥2)．②
由①－②，得bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N，n≥2)， ∴bn＋1＝2bn(n∈N，n≥2)．
1
*
*
**
*
anbn∵b1＝2，b2＝2b1，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴bn＝2(n∈N)． (2)由cn＝＝n，
bn2
123n－1n得Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n，
222221123n－1nTn＝2＋3＋4＋…＋n＋n＋1， 222222两式相减，得
1111n2＋nTn＝＋2＋…＋n－n＋1＝1－n＋1， 222222∴Tn＝2－
n*
annn＋2
2
n(n∈N)．
*
思维升华 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为
an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再
求an.
跟踪演练1 (2018·绵阳诊断性考试)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝log2，求数列{bn}的前n项和Tn.
32解 (1)由已知a1an＝S1＋Sn，可得 当n＝1时，a1＝a1＋a1， 解得a1＝0或a1＝2， 由{an}是正项数列，故a1＝2.
当n≥2时，由已知可得2an＝2＋Sn，2an－1＝2＋Sn－1， 两式相减得，2(an－an－1)＝an，化简得an＝2an－1， ∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 故an＝2.
∴数列{an}的通项公式为an＝2(n∈N)． (2)∵bn＝log2，代入an＝2化简得bn＝n－5，
32显然{bn}是等差数列， ∴其前n项和Tn＝
n*
2
annannn(－4＋n－5)n2－9n2
＝2
(n∈N)．
2
*
热点二 数列与函数、不等式的综合问题
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．
例2 设f2
nn(x)＝x＋x＋…＋x－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)；
(2)证明：f?11n(x)在?2?0，3???内有且仅有一个零点(记为an)，且0 (1)解 由题设fn－1 n′(x)＝1＋2x＋…＋nx， 所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2 ＋n·2n－1 ，① 则2f2n－1 n′(2)＝2＋2×2＋…＋(n－1)2 ＋n·2n，② 由①－②得，－f2＋22 ＋…＋2n－1 n′(2)＝1＋－n·2n n＝1－21－2－n·2n＝(1－n)·2n－1， 所以fnn′(2)＝(n－1)·2＋1. (2)证明 因为fn(0)＝－1<0， 2??2?nf?23?3??1－??3?????n???? ＝1－2－1 3 ＝1－2×??2?3??n?≥1－2×??2?3??2 ? >0， 所以fn(x)在???0，23??? 内至少存在一个零点， 又fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1 >0， 所以fn(x)在??2?0，3??? 内单调递增， 因此fn(x)在??2?0，3??? 内有且仅有一个零点an， fx－xn＋1 由于n(x)＝1－x－1， 所以fa＋1 n－annn(an)＝1－a－1＝0， n由此可得a11n＋11 n＝2＋2an>2 ， 3 12故 11n＋11?2?n＋11?2?n所以0 222?3?3?3? 思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视． (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件． (3)不等关系证明中进行适当的放缩． 跟踪演练2 (2018·泉州质检)记数列{an}的前n 项和为Sn，已知1，an，Sn 成等差数列． (1)求{an}的通项公式； an＋12* (2)若bn＝(n∈N)，证明：≤b1＋b2＋…＋bn<1. ?an＋1－1??an＋2－1?3 (1)解 由已知1，an，Sn成等差数列， 得2an＝Sn＋1，① 当n＝1 时，2a1＝S1＋1，所以a1＝1； 当n≥2时，2an－1＝Sn－1＋1，② ①②两式相减得2an－2an－1＝an，所以 an＝2， an－1 则数列{an}是以a1＝1为首项，q＝2为公比的等比数列， 所以an＝a1qn－1 ＝1×2 n－1 ＝2 n－1 (n∈N)． * (2)证明 由(1)得bn＝ nan＋1 (an＋1－1)(an＋2－1)211 ＝n＋1＝n－n＋1， n(2－1)(2－1)2－12－1所以b1＋b2＋…＋bn ＝? ?1－21?＋?21－31?＋…＋?n1－n＋1?＝1－1， 1?????n＋1 2－1?2－12－1??2－12－1??2－12－1? n＋1 因为2 112 －1≥2－1＝3,0 2－13 21 所以≤1－n＋1<1， 32－12 即证得≤b1＋b2＋…＋bn<1. 3热点三 数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时， 4 要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果． 例3 科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)． (1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)； (2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围． 解 设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2，…， (1)由已知，a1＝400×0.9＋m， a2＝0.9×(400×0.9＋m)＋m ＝400×0.92 ＋0.9m＋m＝324＋1.9m. (2)a2 3＝0.9×(400×0.9＋0.9m＋m)＋m ＝400×0.93＋0.92 m＋0.9m＋m， …， an－1n＝400×0.9＋0.9nm＋0.9n－2m＋…＋0.9m＋m 1n＝400×0.9n＋m－0.91－0.9 ＝400×0.9n＋10m(1－0.9n) ＝(400－10m)×0.9n＋10m. 由已知?n∈N* ，an≤550， (1)当400－10m＝0，即m＝40时，显然满足题意； (2)当400－10m>0，即m<40时， 由指数函数的性质可得(400－10m)×0.9＋10m≤550，解得m≤190. 综合得m<40； (3)当400－10m<0，即m>40时， 由指数函数的性质可得10m≤550， 解得m≤55，综合得40 5
（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题二 数列 第3讲 数列的综合问题学案 文
