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?xl(x)?x
kjjij?0n?原式??Cki(?x)k?ixii?0n?(x?x)k?0?得证。
5设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证：
1maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为
L1(x)?f(x0) =?f(a)x?x1x?x0?f(x1)
x0?x1x?x0x?bx?a ?f(b)a?bx?a
又f(a)?f(b)?0?L1(x)?0插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2?f(x)?又1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2(x?x0)(x?x1)2?1????(x?x0)?(x1?x)???2?
12?(x1?x0)41?(b?a)241?maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8x6．在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使
x截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为xi?1,xi和xi?1，则分段二次插值多项式的插值余项为
?6.. ..
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1f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1) 3!1?R2(x)?(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)
?4?x?46R2(x)?设步长为h，即xi?1?xi?h,xi?1?xi?h
123343?R2(x)?e4?h?eh.
62733若截断误差不超过10，则
?6R2(x)?10?6343eh?10?6 27?h?0.0065.?n447．若yn?2,求?yn及?yn.，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
yn?2n
?4yn?(E?1)4yn
?4???(?1)j??E4?jynj?0?j?4?4???(?1)j??y4?n?jj?0?j? 4 j?4?4?j??(?1)??2?ynj?0?j?4?(2?1)4yn?yn?2n12?124?yn?(E?E)yn
?(E)(E?1)4yn ?E?yn?24?1244
?yn?2?2n?28．如果f(x)是m次多项式，记?f(x)?f(x?h)?f(x)，证明f(x)的k阶差分
.. ..
. . .
?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式，并且?m?1f(x)?0（l为正整数）。
解：函数f(x)的Taylor展式为
f(x?h)?f(x)?f?(x)h?其中??(x,x?h) 又
1f??(x)h2?2?1(m)1f(x)hm?f(m?1)(?)hm?1 m!(m?1)!f(x)是次数为m的多项式
?f(m?1)(?)?0??f(x)?f(x?h)?f(x) ?f?(x)h?1f??(x)h2?2?1(m)f(x)hm m!??f(x)为m?1阶多项式 ?2f(x)??(?f(x)) ??2f(x)为m?2阶多项式
依此过程递推，得?f(x)是m?k次多项式
k??mf(x)是常数 ?当l为正整数时，
?m?1f(x)?0
9．证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk 证明
?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk
?fk?1gk?1?fkgk?1?fkgk?1?fkgk
?gk?1(fk?1?fk)?fk(gk?1?gk)?gk?1?fk?fk?gk?fk?gk?gk?1?fk
?得证
10．证明
?f?gkk?0n?1k?fngn?f0g0??gk?1?fk
k?0n?1证明：由上题结论可知
.. ..
. . .
fk?gk??(fkgk)?gk?1?fk
??fk?gkk?0n?1n?1??(?(fkgk)?gk?1?fk)
k?0n?1???(fkgk)??gk?1?fkk?0k?0n?1?(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk???(fkgk)k?0n?1
?(f1g1?f0g0)?(f2g2?f1g1)??fngn?f0g0n?1n?1?(fngn?fn?1gn?1)??fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fk
k?0k?0得证。 11．证明
??j?02n?12yj??yn??y0
n?1证明
??j?0n?1yj??(?yj?1??yj)
j?0 得证。
?(?y1??y0)?(?y2??y1)???yn??y0?(?yn??yn?1)
12．若f(x)?a0?a1x?证明：
?an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,,xn，
?j?1nxk?0,0?k?n?2;j???1 f?(xj)?n0,k?n?1f(x)有个不同实根x1,x2,,xn
证明：
且f(x)?a0?a1x??an?1xn?1?anxn
?f(x)?an(x?x1)(x?x2)令?n(x)?(x?x1)(x?x2)则
(x?xn) (x?xn)
?j?1nnxkxkjj?? ??f(xj)j?1an?n(xj).. ..
. . .
?(x)?(x?x2)(x?x3)而?n ?(x?xn)?(x?x1)(x?x3)(x?xn?1) (xj?xj?1)(xj?xj?1)(x?xn)
?(x?x1)(x?x2)?(xj)?(xj?x1)(xj?x2)??n令g(x)?x,
k(xj?xn)
g?x1,x2,则g?x1,x2,nxkj ,xn????j?1?n(xj)nxkj ,xn?????(x)j?1njn又?n?j?1xk1j?g?x1,x2,f?(xj)an,xn?
??j?1xk?0,0?k?n?2;j ???1f?(xj)?n0,k?n?1?得证。
13．证明n阶均差有下列性质：
（1）若F(x)?cf(x)，则F?x0,x1,,xn??cf?x0,x1,,xn?;
,xn??f?x0,x1,,xn??g?x0,x1,,xn?.
（2）若F(x)?f(x)?g(x)，则F?x0,x1,证明： （1）
f?x1,x2,,xn???j?0nn(xj?x0)f(xj)(xj?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xn)
F?x1,x2,,xn???nj?0(xj?x0)F(xj)(xj?xj?1)(xj?xj?1)cf(xj)(xj?xj?1)(xj?xj?1)f(xj)(xj?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xn) ??(xj?0nj?0j?x0)(xj?xn)
?c(?(xj?x0)(xj?xn))
?cf?x0,x1,,xn?
?得证。
(2)F(x)?f(x)?g(x)
.. ..
数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题答案
