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第5章
复习与思考题
1、用高斯消去法为什么要选主元?哪些方程组可以不选主元? k答:使用高斯消去法时,在消元过程中可能出现akk?0 的情况,这时消去法无法进行;k即时主元素akk?0,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散,最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元,以保证计算的进行和计算的准确性。 当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。 2、高斯消去法与LU分解有什么关系?用它们解线性方程组Ax = b有何不同?A要满足什么条件? 答:高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个为上三角矩阵U,一个为下三角矩阵L。 用LU分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。 A需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,…,n-1)不为零。 3、楚列斯基分解与LU分解相比,有什么优点? 楚列斯基分解是LU分解的一种,当限定下三角矩阵L的对角元素为正时,楚列斯基分解具有唯一解。 4、哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。 平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长,切对角元素恒为正数,因此,是一个稳定. 学习帮手 .
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的算法。 5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定? 对角占优的三对角方程组 6、何谓向量范数?给出三种常用的向量范数。 向量范数定义见p53,符合3个运算法则。 正定性 齐次性 三角不等式 设x 为向量,则三种常用的向量范数为:(第3章p53,第5章p165) ||x||1??|xi| i?1n||x||2?(?x) i?1n122i||x||??max|xi| 1?i?n7、何谓矩阵范数?何谓矩阵的算子范数?给出矩阵A = (ai j )的三种范数|| A||1,|| A||2,|| A||∞,|| A||1与|| A||2哪个更容易计算?为什么? 向量范数定义见p162,需要满足四个条件。 正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有 . 学习帮手 .
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||A||1 ||A||2 ||A||? 从定义可知,||A||1更容易计算。 8、什么是矩阵的条件数?如何判断线性方程组是病态的? 答:设A为非奇异阵,称数cond(A)v?A当cond(A)?1vAv (v?1,2,?)为矩阵A的条件数 1时,方程是病态的。 9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异? (1)矩阵行列式的值很小。 (2)矩阵的范数小。 (3)矩阵的范数大。 (4)矩阵的条件数小。 (5)矩阵的元素绝对值小。 接近奇异阵的有 (1)、(2) 注:矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。 矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。 10、判断下列命题是否正确: (1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。 答:错误,主元位置可能为0,导致无法计算结果。 (2)对称正定的线性方程组总是良态的。 答:正确。 . 学习帮手 .
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(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。 答:正确。 (4)如果A非奇异,则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。 答:正确。解释:若A|b与A的秩相同,则A有唯一解。若不同,则A无解。 (5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。 (6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。 答:正确。 (7)奇异矩阵的范数一定是零。 答:错误,?? 可以不为0。 (8)如果矩阵对称,则|| A||1 = || A||∞ 。 答:根据范数的定义,正确。 (9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。 答:错误,不选主元时,可能除数为0。 (10)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很小。 答:错误。对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。 (11)|| A ||1 = || AT ||∞ 。 答:根据范数的定义,正确。 (12)若A是n ? n的非奇异矩阵,则 cond(A)?cond(A?1)。 答:正确。A是n ? n的非奇异矩阵,则A存在逆矩阵。 . 学习帮手 .
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根据条件数的定义有:cond(A)?A?A?1cond(A)?A?1?1?(A)
?1?1?A?1?A?A?A?1
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李庆扬_数值分析第五版第5章习题答案(20130808)
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