两条直线的位置关系
教学目标
掌握两条直线的位置关系； 能解决两条直线的位置关系相关问题
知识梳理
一、两直线平行、相交与重合的条件
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1．已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Ai＋Bi≠0，i＝1,2)． (1)l1与l2相交的条件：A1B2-A2B1≠0
或
．(A2B2≠0)
(2)l1与l2平行的条件：A1B2-A2B1=0而B1C2-B2C1≠0或A2C1-A1C2≠0; 或
(A2B2C2≠0
(3)l1与l2重合的条件：A1= A2,B1= B2,C1= C2( ) 或
．(A2B2C2≠0)
2.已知两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. (1)l1∥l2的条件：k1＝k2且b1≠b2.
(2)l1与l2重合的条件：k1＝k2且b1＝b2. (3)l1与l2相交的条件：k1≠k. 二、两直线垂直的条件
1．两直线垂直的条件 (1)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
2
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2i＋Bi≠0)， l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
(2)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1⊥l2?k1·k2＝－1.
典例讲练
类型一 两条直线平行
例1：判断下列各组中两条直线的位置关系．
(1)l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0；
x2
(2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋；
33
(3)l1：(2－1)x＋y＝3，l2：x＋(2＋1)y＝2； (4)l1：x＝5，l2：x＝6.
解析：有两条直线的位置关系判定公式判定直线的关系.答案：(1)A1＝3，B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1.
A1B1A2B2
(2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4；
把l2化为x－3y＋2＝0，∴A2＝1，B2＝－3，C2＝2. A1B1C1
∵＝＝，∴l1与l2重合． A2B2C2
∵≠，∴l1与l2相交．
(3)A1＝2－1，B1＝1，C1＝－3；A2＝1，B2＝2＋1，C2＝－2.
A1B1C1A2B2C2
(4)l1与l2平行．
∵＝≠，∴l1与l2平行．
练习1：判定下列每组中所给两直线l1与l2的位置关系．
(1)l1：x＋2y－3＝0，l2：2x＋4y＋1＝0.
1
(2)l1：y＝－3x＋1，l2：y＝x＋2.
3
(3)l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x－6y＋2＝0. 答案：(1)平行 (2)相交 (3)重合 练习2：下列命题：
①若直线l1与l2的斜率相等，则l1//l2；②若直线l1//l2，则两直线的斜率相等；③若直线l1,l2的斜率均不存在，则l1//l2；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线l1//l2，且l1的斜率不存在，那么l2的斜率也不存在．其中正确命题的序号为 ___ ．
答案：④⑤
例2、已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2 (1)相交；(2)平行；(3)重合．
解析：充分利用条件，但要考虑直线垂直于x轴或平行于x轴的情况． 答案：当m＝0时，则l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，
∴l1与l2相交；
当m＝2时，则l1：x＋2y＋6＝0，l2：3y＋4＝0， ∴l1与l2相交；
A11B1mC16
当m≠0，m≠2时，＝，＝，＝. A2m－2B23C22mA1B11m＝，解得m＝－1，或m＝3.
A2B2m－23A1C116当＝时 ，＝，解得m＝3. A2C2m－22m?A1B1?综上所述，(1)当m≠－1，且m≠3时，?≠?方程组有惟一解，l1与l2相交； ?A2B2?
?A1B1A1C1?(2)当m＝－1时，?＝，≠?方程组无解，l1与l2平行； ?A2B1A2C2??A1B1C1?(3)当m＝3时，?＝＝?方程组有无数组解，l1与l2重合． ?A2B2C2?
练习1：(2014·辽宁大连市第三中学高一期末测试)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y2
＋a－1＝0平行，则实数a的取值是( )
当＝时，A．－1或2
B．0或1
C．－1
答案：∵l1∥l2，∴a(a－1)－2＝0， ∴a＝－1或2.
当a＝2时，l1与l2重合，∴a＝－1.
D．2
练习2：已知两直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋(a＋4)y＋2＝0，若l1∥l2，求a的值． 答案：当a＝－4时，l1：4x－3y＋3＝0与l2：4x＋2＝0不平行，∴a≠－4.
－a－42
∵l1∥l2，∴＝，∴a＋4a－12＝0，
3a＋4∴a＝2或a＝－6.
当a＝－6时，l1：－6x＋3y－3＝0，即2x－y＋1＝0，l24x－2y＋2＝0，即2x－y＋1＝0， 此时l1与l2重合，∴a≠－6.
当a＝2时，l1：2x＋3y－3＝0，l2：4x＋6y＋2＝0，即2x＋3y＋1＝0，∴l1∥l2. 综上可知，a＝2.
例3：试求三条直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0构成三角形的条件． 解析：三条直线构成三角形，则任两条直线都相交，且不能相交于一点． 答案：解法一：任两条直线都相交，则
a1a1
≠，≠，故a≠±1. 1a11
??x＋ay＋1＝0
且三条直线不共点，故?
?x＋y＋a＝0?
2
的交点(－1－a,1)不在ax＋y＋1＝0上，即a(－1－a)
＋1＋1≠0，a＋a－2≠0，(a＋2)(a－1)≠0，∴a≠－2且a≠1，综合上述结果，此三条直线构成
三角形的条件是a≠±1，a≠－2.
解法二：∵三条直线能构成三角形，
∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点，若l1、l2、l3交于一点，则
l1：x＋y＋a＝0与l2：x＋ay＋1＝0的交点P(－a－1,1)在l3：ax＋y＋1＝0上， ∴a·(－a－1)＋1＋1＝0，∴a＝1或a＝－2.
1
若l1∥l2，则有＝1，a＝1.
aaa1
若l1∥l3，则有＝1，a＝1. 1
若l2∥l3，则有＝a，a＝±1.
∴l1、l2、l3构成三角形时，a≠±1，a≠－2.
练习1：三条直线l1：x＋y＝2，l2：x－y＝0，l3：x＋ay－3＝0能构成三角形，求实数a的取值范围．
答案：∵kl1＝－1，kl2＝1，∴当a＝±1时，l3与l1、l2中一条平行，此时三条直线不能构成三角形．
又l1与l2交点为(1,1)，若点(1,1)在l3上，则a＝2，综上可知：a≠2，且a≠±1时，三条线可构成三角形．
练习2：直线l经过2x?3y?2?0和3x?4y?2?0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程． 答案：由??2x?3y?2?0?x?4 得? ∴交点坐标是?14,10?
?3x?4y?2?0?y?10 ∵直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形 ∴其斜率为?1
∴所求直线的方程为：y?10???x?14? 即x?y?4?0或x?y?24?0
类型二两条直线垂直
例4：当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互
相垂直？
解析：在利用k1·k2＝－1判定垂直关系时，一定要注意直线的斜率是否有可能不存在这一情况． 答案：解法一：①当1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直；
3
②当2a＋3＝0，即a＝－时，
2
直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直；
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1、l2的斜率k1、k2存在，
a＋2a－1k1＝－，k2＝－. 1－a2a＋3当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
?a＋2?·?－a－1?＝－1，∴a＝－1. 即?－????1－a??2a＋3?
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
解法二：∵直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1. 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
练习1：判断下列各组中两条直线l1与l2是否垂直． (1)l1：2x－y＝0，l2：x－2y＝0；
(2)l1：2x－4y－7＝0，l2：2x＋y－5＝0； (3)l1：2x－7＝0，l2：6y－5＝0. 答案：(1)不垂直．
1
∵k1＝2，k2＝，
2
∴k1k2＝1，故l1与l2不垂直． (2)垂直．
1
k1＝，k2＝－2，
2∴k1k2＝－1，故l1⊥l2.
75
(3)l1：x＝，l2：y＝，
26故l1⊥l2.
练习2：(2014·甘肃嘉峪关一中高一期末测试)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的斜率为( )
A．－B.3 3
3
3
C．－3 D.3 答案：C
人教版高数必修二第9讲：两条直线的位置关系（教师版）
