∵anan＋1＝22n(n∈N*)，
an＋1an＋222?n1?∴＝2n＝4＝q2，解得q＝2，
2anan＋1
2n?12＋
2n
∴a2n×2＝2，an>0，解得an＝2，
则a6－a5＝2－2＝162，故选D.
7．(多选)在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为( ) A．8 C．－8 答案 AC
解析 因为{an}为等比数列，a5＝4，a7＝16，所以a26＝a5·a7＝4×16＝64，所以a6＝±8.
a99－18．(多选)在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下
a100－1列选项中，结论正确的是( ) A．0＜q＜1 B．a99·a101－1＜0 C．T100的值是Tn中最大的
D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于198 答案 ABD
解析 对于A，∵a99a100－1＞0，
197＞1，∴(a·q98)2·q＞1. ∴a21·q1
11292B．12 D．－12
∵a1＞1，∴q＞0. a99－1又∵＜0，
a100－1∴a99＞1，且a100＜1.
16
∴0＜q＜1，故A正确；
对于B，∵a2100＝a99·a101，a100<1，∴0＜a99·a101＜1， 即 a99·a101－1＜0，故B正确；
对于C，由于T100＝T99·a100，而0＜a100＜1， 故有 T100＜T99，故C错误；
对于D，T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)×99＞1， T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100＜1，故D正确． 故选ABD.
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2 020，a2＋a4＝－2a3，则S2 021＝________. 答案 2 020
解析 ∵a2＋a4＝－2a3，
∴a2＋a4＋2a3＝0，a2＋2a2q＋a2q2＝0， ∵a2≠0，∴q2＋2q＋1＝0，解得q＝－1. ∵a1＝2 020，
a1?1－q2 021?2 020×[1－?－1?2 021]∴S2 021＝＝
21－q＝2 020.
10.如图所示，正方形上连结着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连结正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为其最小正方形的边长为________．
2
，则2
答案
1 32
17
解析 由题意，得正方形的边长构成以
－
22
为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，22
2?2?91
×＝. 2?2?32
则有1＋2＋…＋2n1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为
an
11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
n(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式．
2?n＋1?
解 (1)由条件可得an＋1＝an，
n
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
an＋12an
＝，即bn＋1＝2bn， n＋1n
由条件可得
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． an－
(3)由(2)可得＝2n1，
n所以an＝n·2n1.
31
12．(2019·淄博模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝Sn－1＋an－1＋(n∈N*且n≥2)，数列{bn}满
4237
足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n＋1(n∈N*且n≥2)．
4(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列．
111
(1)解 由Sn＝Sn－1＋an－1＋，得Sn－Sn－1＝an－1＋，即an－an－1＝(n≥2且n∈N*)，
222
18
－
31
则数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，
423111
因此an＝＋(n－1)× ＝n＋.
4224(2)证明 因为3bn－bn－1＝n＋1(n≥2)， 11
所以bn＝bn－1＋(n＋1)(n≥2)，
331111
bn－an＝bn－1＋(n＋1)－n－
3324111
＝bn－1－n＋ 3612
111
bn－1－n＋?(n≥2)， ＝?24?3?11bn－1－an－1＝bn－1－(n－1)－ 2411
＝bn－1－n＋(n≥2)，
24
1
所以bn－an＝(bn－1－an－1)(n≥2)，
3
1
因为b1－a1＝－10≠0，所以数列{bn－an}是以－10为首项，为公比的等比数列．
3
13．各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________． n2＋n
答案 an＝ 2
解析 由题设可得an＋1＝bnbn＋1，an＝bnbn－1(n≥2)， 代入2bn＝an＋an＋1得2bn＝bnbn－1＋bnbn＋1(n≥2)， 即2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，
19
则{bn}是首项为b1的等差数列． 又a1＝1，a2＝3，所以2b1＝4，b1＝2， a229
故b2＝＝，
b12
322则公差d＝b2－b1＝－2＝，
22
2?n＋1?2
(n－1)＝， 22
所以bn＝2＋
n＋1n＋2
即bn＝，bn＋1＝，
22?n＋1??n＋2?
则an＋1＝bnbn＋1＝，
2n?n＋1?n2＋n
所以an＝＝.
22
2
14．已知在等比数列{an}中，an>0，a22＋a4＝900－2a1a5，a5＝9a3，则a2 020的个位数字是____．
答案 7
解析 由等比数列的性质可得a1a5＝a2a4，
2因为a22＋a4＝900－2a1a5＝900－2a2a4，
22所以a22＋a4＋2a2a4＝(a2＋a4)＝900，
又因为an>0，所以a2＋a4＝30，
又由a5＝9a3，所以a1(q＋q3)＝30，a3q2＝9a3，且q>0，解得a1＝1，q＝3， 所以a2 020＝a1q2 019＝32 019＝(34)504×33， 所以a2 020的个位数字是7.
15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求数列{an}的通项公式．
20
6.3 等比数列及其前n项和-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义
