§6.3 等比数列及其前n项和
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等an＋1
比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
an(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1. (2)前n项和公式：
na1?q＝1?，??
Sn＝?a1?1－qn?a1－anq.
＝?q≠1??1－q?1－q3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn
－m
－
(n，m∈N*)．
2. (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝ak?1??an?
??(λ≠0)仍然是等比数列． (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，?a?，{a2}，{a·b}，nnn
b
?n?
?n?
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
4．在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)． 概念方法微思考
1
1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？
提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数． 2．任意两个实数都有等比中项吗？
提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？
提示 必要不充分条件．因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) a?1－an?
(3)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × )
1－a
n
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编
1
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.
41答案
2
a511
解析 由题意知q3＝＝，∴q＝.
a282
3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( ) A．8 B．9 C．10 D．11
2
答案 C
解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10. 题组三 易错自纠
4．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )
A.??1??an??
B．log2a2n
C．{an＋an＋1} D．{an＋an＋1＋an＋2}
答案 AD
解析 等比数列{an}的通项an＝1时，log2a2n＝0，数列{log2a2n}不是等比数列，
等比数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，
由等比数列的定义知??1?
?an??
和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列．故选AD.
5．若1，aa1－a2
1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则b2的值为________．答案 －1
2
解析 ∵1，a1，a2，4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，
则b22＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，
∴
a1－a2－?a2－a1b2＝?b2＝－1
2
. 6．设SaSn为等比数列{an}的前n项和，82＋a5＝0，则5
S2＝________.
答案 －11
解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
3
∴q3＋8＝0，∴q＝－2， S5a1?1－q5?1－q∴＝· S21－qa1?1－q2?1－q51－?－2?5＝＝＝－11. 1－q21－4
7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB) 答案 39
解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n， 则2n＝8×210＝213，∴n＝13. 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒).
等比数列基本量的运算
1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于( ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案 D
解析 因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，
??a1＋a2＝3，所以?
?a3＋a4＝12，?
两个方程左右两边分别相除，得q2＝4， 因为数列是正项等比数列， 所以q＝2，故选D.
2．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于( )
4
A．16 B．8 C．4 D．2 答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4. 3．(2019·全国Ⅰ)记S{a3
n为等比数列n}的前n项和，若a1＝1，S3＝4，则S4＝________.
答案 58
解析 设等比数列的公比为q， 则an＝a1qn－
1＝qn－
1. ∵a＝3
1＝1，S34
，
∴aa3
1＋a2＋3＝1＋q＋q2＝4，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－1
2
，
1×?∴S?1－??－12??4??5
4＝＝.1－?1?－2?8
?4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解 (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－
1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n
－1
或an＝2n－
1(n∈N*)． 1－?－2?n(2)若an＝(－2)
n－1
，则Sn＝3
.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
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6.3 等比数列及其前n项和-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义
