有3种选择；第三类：m＝3时，使m＞n，n有2种选择；第四类：m＝2时，使m＞n，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．故选A．
(2)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 【答案】 (1)A (2)36
【迁移探究1】 (变条件)在本例(1)中，若m∈{1，2，…，k}，n∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？
解：因为m＞n.
当m＝k时，n＝1，2，…，k－1. 当m＝k－1时，n＝1，2，…，k－2. …
当m＝3时，n＝1，2. 当m＝2时，n＝1.
k(k－1)所以共有1＋2＋…＋(k－1)＝(个)．
2
【迁移探究2】 (变条件)若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则这样的两位数的个数是多少？
解：分两类：一类：个位数字大于十位数字的两位数，由本例(2)知共有36个；另一类：个位数字与十位数字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个．由分类加法计数原理知，共有36＋9＝45(个)．
分类加法计数原理的两个条件
(1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类． (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
1．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．
解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；
第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5(种)不同的走法． 答案：5
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________．
解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．
所以所有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)． 答案：240
考点二 分步乘法计数原理(基础型)
复习指导| 通过实例，了解分步乘法计数原理及其意义． 核心素养：数学建模
(1)将4封不同的信投入3个信箱，不
同的投法种数为( )
A．96 C．64
B．81 D．24
(2)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 C．12
B．18 D．9
(3)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
【解析】 (1)每封信都有3种不同的投法，由分步乘法计数原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34＝81种不同的投法．故选B．
(2)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B．
(3)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
【答案】 (1)B (2)B (3)120
【迁移探究1】 (变条件)若本例(3)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？
解：每人都可以从这三个智力项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．
【迁移探究2】 (变条件)若将本例(3)条件中的“每人至多参加一项”改为“每人参加的项目数不限”，其他不变，则有多少种不同的报名方法？
解：每人参加的项目数不限，因此每一个项目都可以从六人中任选一人，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．
利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
