2017-2024学年高中数学选修2-3教学案(人教A版) 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 含答案

1．3．2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

预习课本P32～36，思考并完成以下问题 1．杨辉三角具有哪些特点？

2．二项式系数的性质有哪些？

[新知初探]

1．杨辉三角的特点

(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． r(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn＋1＝Cn－1＋Crn．

2．二项式系数的性质

m(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即Cn＝Cnn

－m

)．

n＋1(2)增减性与最大值：当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是2逐渐减小的，且在中间取得最大值；

n

当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；

2

n－1n＋1

当n是奇数时，中间两项C，C相等，同时取得最大值．

2n2n(3)各二项式系数的和：

12nn

①C0n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝2，

24135n1②C0． n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝2

－

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )

2n(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋Cn＋?＋Cn．( )

(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×

2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( )

A．5 C．7 答案：A

B．6 D．8

3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是( ) n

A．第＋1项

2C．第n＋1项 答案：C

4．在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝( ) A．6 C．8 答案：A

与杨辉三角有关的问题

[典例] (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )

B．7 D．9 B．第n项

D．第n项与第n＋1项

A．第6行 C．第8行

B．第7行 D．第9行

(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，?，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )

A．144 C．164

B．146 D．461

[解析](1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除

去两端数字1以外，均能被7整除．

121

(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C2，第3项是C3，第4项是C3，?，1121212

第15项是C29，第16项是C9．所以S(16)＝C2＋C2＋C3＋C3＋?＋C9＋C9

11222

＝(C12＋C3＋?＋C9)＋(C2＋C3＋?＋C9)

1112322＝(C22＋C2＋C3＋?＋C9－C2)＋(C3＋C3＋?＋C9) 3＝C210＋C10－1＝164．

[答案] (1)B (2)C

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论． [活学活用]

如图， 在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3．

1012解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C01，C1；第2行中的数是C2，C2，C2；第3行123012n

中的数是C03，C3，C3，C3，?，第n行中的数是Cn，Cn，Cn，?，Cn．设第n行中从左13到右第14与第15个数的比为2∶3，则Cn∶C14n＝2∶3，解之得n＝34．

答案：34

求展开式的系数和

[典例] 设(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a2 016·x2 016(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋?＋a2 016的值． (2)求a1＋a3＋a5＋?＋a2 015的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a2 016|的值． [解] (1)令x＝1，得

a0＋a1＋a2＋?＋a2 016＝(－1)2 016＝1．①

(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－?＋a2 016＝32 016．②

①－②得

2(a1＋a3＋?＋a2 015)＝1－32 016， 1－32 016

∴a1＋a3＋a5＋?＋a2 015＝．

2

rr

(3)∵Tr＋1＝CrCr(2x)r， 2 016(－2x)＝(－1)·2 016·

∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|a2 016| ＝a0－a1＋a2－a3＋?＋a2 016＝32 016．

二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n, (ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， f?1?＋f?－1?奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋?＝，

2

f?1?－f?－1?

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋?＝．

2[活学活用]

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋?＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6．

解：(1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋?＋a7＝－1，① 令x＝0，得a0＝1， ∴a1＋a2＋?＋a7＝－2． (2)令x＝－1，得

a0－a1＋a2－a3＋?＋a6－a7＝37＝2 187，② 由①，②得

a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094， a0＋a2＋a4＋a6＝1 093．

求展开式中系数或二项式系数的最大项 2x－2?8的展开式中， [典例] 在?x??(1)求二项式系数最大的项；

(2)系数的绝对值最大的项是第几项？

2?r5r8－r?rrr－2[解] Tr＋1＝Cr·(x)·＝(－1)·C·2·x4－． 88?x?2(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5＝C424·x4－8·

20－

＝1 120x6． 2

(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，

＋1＋rr

?2≥Cr2r1，?C8·8·

则?rr－1－?C8·2≥Cr2r1，?8·

?8－r≥r＋1，

即?21

≥

?r9－r.

12

??r≥5，

整理得?于是r＝5或6．

?r≤6.?

故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [一题多变]

1．[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．

解：由本例(1)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正．

故系数最大的项为T7＝C626·x8·

－11

－11

＝1 792x．

171755

系数最小的项为T6＝(－1)5C8·2x－＝－1 792x－．

22

?x－1?n

2．[变条件，变设问]在?23?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开

x??

式中常数项．

44k?1?8－k

解：由题意知n＝8，通项为Tk＋1＝(－1)k·C8··x8－k，令8－k＝0，得k＝6，?2?33

6?1?2·故常数项为第7项，且T7＝(－1)6·C?2?8＝7．

二项式系数的最大项的求法

求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．

(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

层级一 学业水平达标

1．关于(a－b)10的说法，错误的是( ) A．展开式中的二项式系数之和为1 024