第2讲 三角恒等变换与解三角形
「考情研析」 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算． 2.三角形形状的判断． 3.面积的计算． 4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
核心知识回顾
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝□01sinαcosβ±cosαsinβ； cos(α±β)＝□02cosαcosβ?sinαsinβ； tan(α±β)＝□
03tanα±tanβ1?tanαtanβ. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝□012sinαcosα； cos2α＝□02cos2α－sin2α＝□032cos2α－1＝□041－2sin2α； tan2α＝□052tanα1－tan2
α； cos2α＝□
061＋cos2α2，sin2α＝□071－cos2α2
. 3．辅助角公式
asinα＋bcosα＝□01 a2＋b2sin(α＋φ)??b?tanφ＝a???
.
4．正弦定理
01□asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝□022RsinA，b＝□032RsinB，c＝□042RsinC. sinA＝□05a，sinB＝□06b，sinC＝□07c2R2R2R. a∶b∶c＝□08sinA∶sinB∶sinC. 5．余弦定理
a2＝□01b2＋c2－2bccosA，b2＝□02a2＋c2－2accosB，c2＝□03a2＋b2－2abcosC. 推论：cosA＝□04b2＋c2－a2
2bc， 222cosB＝□05a＋c－b2ac， cosC＝□06a2＋b2－c22ab. - 1 -
6．面积公式
01bcsinA＝□02acsinB＝□03absinC. S△ABC＝□7．常用结论
01A＋B＋C＝π； (1)三角形内角和□02A>B>C?03(2)a>b>c?□□sinA>sinB>sinC； 05cos(A＋B)＝－cosC. (3)04□sin(A＋B)＝sinC，□热点考向探究
考向1 三角恒等变换与求值
3
例1 (1)已知α为第一象限角，cosα＝，则
5π??1＋2cos?2α－?4??
＝( )
π??sin?α＋?2??2
A. 5C.14 5
7B. 52D．－
5
12
12
12
答案 C
34
解析 ∵cosα＝且α为第一象限角，∴sinα＝，
554324
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，
55257?3?22
cos2α＝2cosα－1＝2×??－1＝－，
25?5?
π?724?1－＋1＋2cos?2α－?4?1＋cos2α＋sin2α252514?
∴＝＝＝.
π?cosα35?sin?α＋?2?5?π?2?(2)已知θ∈(0，π)，且sin?θ－?＝，则tan2θ＝( )
4?10?432424
A. B. C．－ D. 3477答案 C
π?221?解析 ∵sin?θ－?＝(sinθ－cosθ)＝，∴sinθ－cosθ＝.又∵θ∈(0，π)，
4?2105?且sinθ＋cosθ＝1，
- 2 -
2
2
4
sinθ＝，??5∴?3
cosθ＝，??5
42tanθ24
∴tanθ＝，tan2θ＝＝－. 2
31－tanθ7
π?4?(3)(2019·四川德阳高三第二次诊断)已知α为锐角，且tanα＝，则cos?2α＋?＝
2?3?( )
24
A．－
253C. 5答案 A
π??解析 cos?2α＋?＝－sin2α＝－2sinαcosα＝ 2??－2sinαcosα－2tanα24＝＝－. 222
sinα＋cosαtanα＋125
(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin
2
16
B．－
253D. 4
α2
，cos
2
α2
时，常逆用二倍角余弦公式降幂．
1
(2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－
2
????β)]，＋α＝－?－α?，α＝－?－α?等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件
?
?
中的角，选择恰当变角技巧．
1．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为( ) A．－2 2
B.2 2
π4π2
π?4ππ4?4
1C. 2答案 B
1D．－
2
tanA＋tanB解析 由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.又因
1－tanAtanB3ππ2
为A，B是△ABC的内角，即A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，易知C＝，cosC＝.
442
- 3 -
?π??π?2．(2019·辽宁抚顺高三一模)已知函数f(x)＝sinx－cos?x＋?，若在区间?0，?上
6?3???
f(x)≥a恒成立，则实数a的最大值是( )
A．－
3
2
1B．－
2D.3 2
1C. 2答案 A
3?π?3?π?由于0≤x≤π，
解析 函数f(x)＝sinx－cos?x＋?＝sinx－cosx＝3sin?x－?，
6?26?23??πππ333?π?故－≤x－≤，－≤ 3sin?x－?≤.当x＝0时，函数的最小值为－.由于在6?266622?33?π?区间?0，?上f(x)≥a恒成立，故a≤－，所以a的最大值为－.故选A.
3?22?
π?1π2sinα＋sin2α?3．已知tan?α＋?＝，且－<α<0，则等于( )
4?22π???cos?α－?4??25
A．－
5310C．－
10答案 A
π?tanα＋111π10?解析 由tan?α＋?＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.4?1－tanα23210?2sinα＋sin2α2sinαsinα＋cosα25
故＝＝22sinα＝－.
π?52?cos?α－?sinα＋cosα4??2
考向2 正弦定理与余弦定理的应用
例2 (2019·辽宁抚顺高三一模)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝10，角B是最小的内角，且3c＝4asinB＋3bcosA.
(1)求sinB的值； (2)若c＝14，求b的值．
解 (1)由3c＝4asinB＋3bcosA且A＋B＋C＝π， 由正弦定理得3sinC＝4sinAsinB＋3sinBcosA， 即3sin(A＋B)＝4sinAsinB＋3sinBcosA，
由于0
2
2
35
B．－
1025D.
5
- 4 -
3
又sinB>0，所以sinB＝.
5
π
(2)因为角B是最小的内角，所以0 334 又由(1)知sinB＝，所以cosB＝， 55 4222 由余弦定理得b＝14＋10－2×14×10×＝72，即b＝62. 5 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形． 1 (3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝absinC形式的面 2积公式． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos2C＋2ccosAcosC＋a＋ b＝0. (1)求角C的大小； (2)若b＝4sinB，求△ABC面积S的最大值． 解 (1)由acos2C＋2ccosAcosC＋a＋b＝0，得 a·(2cos2C－1)＋2ccosAcosC＋a＋b＝0， 即2acosC＋2ccosAcosC＋b＝0. 由正弦定理，得2sinAcosC＋2sinCcosAcosC＋sinB＝0， ∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0. 1 ∵0° 2(2)根据正弦定理，得c＝ 2 2 bsinC， sinBbsinC4sinBsinC＝＝23， sinBsinB∵b＝4sinB，C＝120°，∴c＝ 2 2 2 由余弦定理c＝a＋b－2abcosC，得 (23)＝a＋b－2abcos120°＝a＋b＋ab≥3ab， 2 2 2 2 2 - 5 -
2020届高考数学大二轮复习专题二三角函数、解三角形与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习文
