函数极限的定义性质及作用

由天下分享时间：2024/12/28 23:32:48 加入收藏我要投稿点赞

函数极限的定义性质及作用

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在?的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。

限的概念是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何上的应用.

数列极限标准定义：对数列?xn?，若存在常数a，对于任意??0，总存在正整数N，使得当n?N时，xn?a??成立，那么称a是数列?xn?的极限。

函数极限标准定义：设函数f?x?,x大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意??0，总存在正整数X，使得当x?X时，xn?A??成立，那么称A是函数f?x?在无穷大处的极限。

设函数f?x?在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意

??0，总存在正数?，使得当x?x0??时，x?x0??成立，那么称A是函数

f?x?在x0处的极限。

函数极限具有的性质：

性质 1（唯一性）如果limf?x?存在，则必定唯一

x?a性质 2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界

x?x0性质 3（保序性）设limf?x??b,limf?x??c

x?ax?a0性质4（迫敛性）设limf(x)?limh(x)?A，且在某U(x0;??)内有

x?x0x?x0f(x)?g(x)?h(x)，则limh(x)?A.

x?x0数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限

理论就没有微积分。

二、函数极限的计算及多种求法

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设?Xn?是一个数列,a是实数,如果对任意给定的???,总存在一个正整数N，当n?N时,都有Xn?a??,我们就称a是数列

?Xn?的极限.记为limXn?a.

n??例1: 按定义证明lim解:

1?0. n??n!111??n?1??n?2???? n?nn11令??,则让n?即可, n?1111存在N???,当n?N时,不等式: ??n?1??n?2??1???成立,

?n!nn1所以lim?0

n??n!2.利用极限四则运算法则

应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运

算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。

1?a?a2???an例2: 求lim,其中a?1,b?1.

n??1?b?b2???bn解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限

1?an?11?bn?12n1?a?a???a?,1?b?b???b?,

1?a1?b2n1?an?11limn??1?a1?a?1?b ?原式?

11?bn?11?alimn??1?b1?b3.利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。

例3:求{1?n}的极限。 n2解: 对任意正整数n,显然有

11?n2n2?2?2?, nnnn12 而?0,?0,由夹逼性定理得

nn1?n lim2?0

n??n

4.利用两个重要极限求极限