7．如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果O旋转90°时，求刮雨刷
BD扫过的面积．
BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点
【探索研究题】
如图，已知边长为
2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，
且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中
DE的最小值为(
)
A．3 B．4－3 C．4 D．6－23
【方法与对策】这是两个正多边形通过直角坐标系的组合，利用几何最值求解，这类题型是中考命题的方向．
然后利用旋转变换设置问题，
【忽视关键位置的运动路径】
如图，将半径为
2cm的圆形纸板沿着长和宽分别为
16cm和12cm的矩形的外侧滚动一
周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长是________cm.
参考答案
第24讲
【考题体验】1．A
2.3
3.20π
圆的有关计算
【知识引擎】
【解析】(1)由题意知，弧长＝为：4cm.
2
8－2×2＝4cm，扇形的面积是
12
×4×2＝4cm，故答案2
(2)扇形的弧长及面积等相关知识．
【例题精析】例1
(1)∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；︵︵
(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圆周角定理，得BC的度数为60°，故BC︵nπR60π×3
＝＝＝π，答：BC的长为π.
180180
例2
2
∵OA＝AC＝2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，OC＝4，S阴影＝
60°360°
π(4－2)＋
22
(2)＝2π＋2，故答案为：2π＋2.
例3
2
∵△ABE、△APE为直角三角形，∴AE＝
2
BE－AB＝
22
4－2＝12，∴AP＝
22
AE＋PE＝
12＋1＝13，故选C.
例4∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，
ADA′＝90°，AD＝A′Ｄ＝BC＝3，∴点A第
对角线AC(BD)＝5.∵根据旋转的性质知，∠一次翻滚到点
A′位置时，则点
90π×33π
A经过的路线长为＝；同理，点A′第一次翻滚到
1802
A1位置时，则
A经过的
点A″位置时，则点点A″经过的路线长为
90π×4
A′经过的路线长为＝2π，点A″第一次翻滚到点
18090π×55π
＝，则当点A第一次翻滚到点1802
A1位置时，则点
3π5π
路线长为＋2π＋＝6π.故答案是6π.
22
【变式拓展】
1．(1)B4.
(2)B2.4π
13.3－π
3
(1)如图，连结OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOC＝2∠1，∵∠A＝2∠1，∴
∠A＝∠DOC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线；
(2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在Rt
DC11
△△ODC中，tan60°＝，DC＝ODtan60°＝2×3＝23，∴SRtODC＝OD·DC＝×2
OD22nπr60×π×222
×23＝23，S扇形ODE＝＝＝π，∴S阴影＝SRt△ODC－S扇形ODE＝23－π.
36036033
5.
C
6.(1)
π6
n＋1(2)a
2
2
2
7.在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即－15)＝1000π(cm)．答：刮雨刷
【热点题型】
【分析与解】在正三角形ABC中，边长为2，易得AD＝
3；在正六边形绕中心
O旋
2
2
S
阴影
＝S
扇形
AOB－S
扇形
11222
COD＝π(OA－OC)＝π×(65
44
2
BD扫过的面积是1000πcm.
转一周的过程中，若DE的值最小，则E点位于y轴的正半轴上，在正六边形中易得此时DE＝AO－AD－OE＝6－3－2＝4－3.故选B.
【错误警示】圆心所经过的路线长为
2×(16＋12)＋2π×2＝(4π＋56)(cm)．
OE＝2，
2018年浙江省中考数学《第24讲：圆的有关计算》总复习讲解
