第24讲圆的有关计算
圆的弧长及扇形面积公式
考试
考试内容
要求
圆的半径是R，弧所对的圆心角度数是
弧长公式扇形面积公式
nπR
弧长l＝
180nπR1
＝S扇＝lR3602
求运动所形成的路径长或面积时，关键是理清运动所形成图形的轨迹
拓展
变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化．
2
n
b
考试
考试内容
要求
基本思想
转化思想：处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转
c
化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
1．(2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF
(
)
是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8.则图中阴影部分的面积是
25
A.π2
B．10πC．24＋4πD．24＋5π
2．(2017·温州)已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为
____________________．
3．(2017·台州)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条
AB，AC的夹角为120°，AB
长为30cm，则弧BC的长为____________________cm.(结果保留π)
【问题】(1)如图，将长为________cm.
2
8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S
扇形
＝
(2)通过(1)解答，你能联想扇形等相关的哪些知识．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理扇形的弧长公式、面积公式的计算．
类型一
例1
弧长的计算
ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝105°，∠
(2016·湖州)如图，已知四边形
DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD；
︵
(2)若圆O的半径为3，求BC的长．
【解后感悟】本题运用弧长的计算公式，解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径．
1．(1)(2015绍兴·)如图，四边形︵
135°，则AC的长(
)
ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝
A．2π(2)
如图，某厂生产横截面直径为
B．π
πC.2
D.
π3
7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐
90°，则“蘑菇罐
头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为头”字样的长度为
(
)
πA.cm 4
7πB.cm
47πC.cm
2
D．7πcm︵︵
，其中CD，DE，
(结
2．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF,叫做“正三角形的渐开线”︵
,的圆心按点EF，果保留π)．
A，B，C循环．如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是
类型二
例2
扇形面积的计算
ABCD对角线AC所在直线上有一点
O，OA＝AC
(2016·黄石)如图所示，正方形
＝2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是
.
【解后感悟】求不规则图形的面积，的面积，通过面积的和差求出结果；
常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形
阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，
通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、和弧长公式容易混淆，
S扇形＝
n21πR＝lR. 3602
差；二是进行图形的割补．扇形面积公式
3．如图，在?ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连结CE，则阴影部分的面积是
____________________(结果保留π)．
4．(2017·丽水模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连结BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以
BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．
(结果保留根号和π)
类型三
例3为(
) A．23
如图，正六边形
圆与正多边形的计算
ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连结AP，则AP的长
B．4 C.13D.11
【解后感悟】本题是正六边形的有关计算，三角形或等边三角形是解题的关键．
运用正六边形的性质将正六边形转化为直角
5．(2015·金华)如图，正方形EF交于点G、H，则的值是(
GH
ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相)
6A.2
B.2 C.3 D．2
6．(1)如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为
cm.(结果保留π)
2
(2)(2015深圳模拟·)如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为按此规律；则第
n个正多边形的面积为
____________________．
a，
类型四
例4
平面图形的运动问题
如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直
A第一次翻滚到点
A1位置时，则点
A经过的路线长为________．
线l作无滑动翻滚，当点
【解后感悟】本题运用了弧长的计算、运动轨迹，是突破解题难点的关键．
矩形的性质以及旋转的性质；根据题意画出点A
2018年浙江省中考数学《第24讲：圆的有关计算》总复习讲解
