圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第14章 随机变量的数字特征
14.1 考点归纳
一、随机变量的数学期望 1．离散型随机变量的数学期望
（1）设X为离散型随机变量，其分布律为p(X=xi)=pi，i=1,2,绝对收敛，则称E(x)=，且级数
?xpiii?xp为随机变量X的数学期望．
iii（2）设Y=g(x)是随机变量X的函数[g(x)为连续函数]，且级数敛，则称E??g(x)??=?g(x)piii绝对收
?g(x)piii为随机变量函数g(x)的数学期望．
（3）设(X,Y)为离散型二维随机变量，X与Y的联合分布律为p(X=xi,Y=yi)=pij，
i=1,2,，Z=g(X,Y)为连续函数，且级数
??g(x,y)piiijij绝对收敛，则称
E??g(X,Y)??=??g(xi,yi)pij为二维随机变量函数g(X,Y)的数学期望．
ij特殊地，由离散型二维随机变量(X,Y)的联合分布律，可求得随机变量X及Y的数学期望：E(X)=??xpiijij，E(Y)=??ypiijij．
2．连续型随机变量的数学期望
（1）设X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)，若
?+???xf(x)dx收敛，则称
E(X)=?xf(x)dx为随机变量X的数学期望．
??+?（2）设Y=g(X)是随机变量X的函数[g(x)为连续函数]，且?g(x)f(x)dx收
??敛，则称E??g(x)??=?g(x)f(x)dx为随机变量函数g(x)的数学期望．
??+?+?（3）设(X,Y)为连续型二维随机变量，X与Y的联合密度函数为
f(x,y)(???x?+?,???y?+?)，Z=g(X,Y)为二元连续函数，且
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 +???????+?+???g(x,y)f(x,y)dxdy收敛，则称E??g(x,y)??=??+???g(x,y)f(x,y)dx为二维
随机变量函数g(X,Y)的数学期望．
特殊地，由离散型二维随机变量(X,Y)的联合密度函数，可求得随机变量X及Y的数学期望：E(X)=????+?+???xf(x,y)dxdy，E(Y)=?+????+???yf(x,y)dxdy．
3．数学期望的性质
（1）E(C)=C（C为常数）；
（2）E(ax+b)=aE(x)+b（a，b为常数）； （3）E(X?2Y)=E(X)?2E(Y)；
（4）若随机变量X与Y相互独立，则有E(XY)=EXEY． 4．求随机变量数字特征的一般方法
（1）对分布律或密度函数已知的情形，直接按定义计算；对由试验给出的随机变量，先求分布再按定义计算．
（2）利用随机变量的数学期望、方差的性质以及常见分布的数学期望和方差计算． （3）对较复杂的随机变量，将其分解为简单随机变量计算．
（4）求随机变量函数的数学期望，一般不需先求随机变量函数的分布，而是直接利用随机变量函数的数学期望公式进行计算．
E(Y)，D(X)，D(Y)，Cov(X,Y)，（5）二维随机变量(X,Y)的数字特征主要指E(X)，
?(X,Y)，故只要已知(X,Y)的联合分布或联合密度，均可用相应的公式求出，其函数的数
字特征主要是期望E??g(x,y)??，其他的数字特征均可转化为函数的数学期望，故重点掌握函数数学期望的公式．
二、随机变量的方差、协方差和相关系数
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圣才电子书 www.100xuexi.com1．方差
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 随机变量X的函数??X?E(X)??的数学期望称为随机变量X的方差，记作D(X)，即．随机变量方差的计算方法有如下2种，其中E(X)是随机变量D(X)=E??X?E(X)??）X的均值．
（1）利用定义计算 ①离散型随机变量的方差
22D(X)=??其中P(X=xk)=pk，k=1，2，…是X的分布律． ?xk?E(X)??pk，
k=1?2②连续型随机变量的方差D(X)=密度．
?X?E(X)??f(X)dx，其中f(X)为分布????+?2（2）利用公式计算D(X)=EX2???E(X)?? 2．方差的性质 （1）D(c)=0；
（2）D(aX+b)=aD(X)（a，b为常数）；
2()2（3）若随机变量X与Y相互独立，则有D(X?Y)=D(X)+D(Y)； （4）D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P?X=c?=1． 3．标准差
方差的算术平方根D(X)称为随机变量X的标准差． 4．随机变量的协方差 （1）协方差定义
设（X，Y）为二维随机变量，称Cov(X,Y)=E??X?E(X)????Y?E(Y)??为随机变量X与Y的协方差．计算协方差的常用公式为Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)．当
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全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-随机变量的数字特征(圣才出
