2007年数学一
一、选择题：(本题共１0小题，每小题4分,共４0分． 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
?(１) 当x?0时,与x等价的无穷小量是
(A） 1?ex. (B） ln1?x. (C) 1?x?1． (Ｄ) 1?cosx． [ B ］
1?x【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案．
【详解】 当x?0时，有1?e?x??(ex?1)~?x;1?x?1~1x; 21?cosx~ (2） 曲线y?11(x)2?x. 利用排除法知应选(B). 221?ln(1?ex)，渐近线的条数为 x(A） ０. (B） 1. (C） 2. (D） ３. [ D ］ 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[?ln(1?e)]??,所以x?0为垂直渐近线;
x?01xx又 lim[?ln(1?e)]?0，所以ｙ=０为水平渐近线；
x???1xxy1ln(1?ex)ln(1?ex)ex]?lim?1, 进一步，lim?lim[2?=limxx???xx???xx???x???xx1?e lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]
x???x???1xxxx??? =lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,
x???x???x?x?x于是有斜渐近线：y = ｘ. 故应选(Ｄ）. (3） 如图，连续函数y=（fx)在区间［?３,?2],［２,3］上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0］,[０，２]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)?(A) F(3)???x0f(t)dt.则下列结论正确的是
35F(?2). (Ｂ) F(3)?F(2)． 4435(C） F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). [ C ]
44【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意ｆ(ｘ)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的
关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知Ｆ（２)为半径是１的半圆面积：F(2)?F(3)是两个半圆面积之差:F(3)?1?, 21133[??12???()2]??=F(2)， 228403?30F(?3)???30f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)
因此应选（C).
(４) 设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0）=0. （B) 若lim存在,则f(0)=0．
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) (Ｃ) 若lim存在，则f?(0)存在. （D） 若lim存在，则f?(0)存在
x?0x?0xx（A) 若lim[ Ｄ ］
【分析】 本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【详解】 (A),（B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0，均可推导出ｆ(0)=0． 若limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)存在，则f(0)?0,f?(0)?lim?lim?0，可见(Ｃ)也正确，故应选(D）. 事实
x?0x?0xx?0x上,可举反例：f(x)?x在ｘ＝０处连续，且
limx?0x??xf(x)?f(?x)?0存在,但f(x)?x在x＝0处不可导。 =limx?0xx(5) 设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 则下列结论正确的是
(Ａ) 若u1?u2,则{un}必收敛. （Ｂ) 若u1?u2,则{un}必发散.
(C) 若u1?u2，则{un}必收敛. (Ｄ) 若u1?u2，则{un}必发散. [ D ]
【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。
22【详解】 设f(x)=x， 则ｆ (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{n}发散，排
除(C); 设f(x）=
11， 则f（x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{}收敛，排除（B); 又xn若设f(x)??lnx，则ｆ(ｘ）在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{?lnn}发散,排除（A）. 故应选(D)．
(6) 设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第IＩ象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是
(A)
?Tf(x,y)dx. (B）
T?Tf(x,y)dy．
T（C)
?f(x,y)ds． (D)
?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. ［ B ]
【分析】 直接计算出四个积分的值,从而可确定正确选项。
【详解】 设Ｍ 、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1?x2,y1?y2. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：
??Tf(x,y)dx??dx?x2?x1?0；
T?Tf(x,y)dy??dy?y2?y1?0;
TTTf(x,y)ds??ds?s?0;
T?Tfx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy??df(x,y)?0.
故正确选项为(B).
（７） 设向量组?1,?2,?3线性无关,则下列向量组线性相关的是
(Ａ） ?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1．
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (Ｄ） ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ A ]
【详解】用定义进行判定:令
x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0，
得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0．
?x3?0,10?1?x1 ??0, 又 ?11因?1,?2,?3线性无关，所以 ??x1?x2 0?0，
? ?x2?x3?0.0?11?故上述齐次线性方程组有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1线性相关. 类似可得(B）， (C）， (Ｄ)中的向量组都是线性无关的.
?2?1?1??100????? （8) 设矩阵A???12?1?, B??010?, 则A与B
??1?12??000????? (A) 合同, 且相似. （B) 合同, 但不相似 .
(Ｃ) 不合同, 但相似． (D) 既不合同， 又不相似. [ B ]
【详解】 由|?E?A|?0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为０， 1， １，从而Ａ与Ｂ不相似． 又r(A)=ｒ（B)=2, 且Ａ、Ｂ有相同的正惯性指数, 因此A与Ｂ合同. 故选(B) .
(9） 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0＜p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A) 3p(1?p)． (B) 6p(1?p).
(C) 3p(1?p). (D) 6p(1?p)． [ C ]
【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前３次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为:C3p(1?p). 故选(C） ．
（１0) 设随机变量(X，Ｙ)服从二维正态分布，且X与Y不相关,fX(x)fY(y)分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Y＝y的条件下,Ｘ的条件概率密度fX|Y(x|y)为
(Ａ) fX(x). （Ｂ） fY(y)． (C ) fX(x)fY(y)． (D)
122222222fX(x)
. [ Ａ ] fY(y)
【详解】 因(Ｘ，Ｙ)服从二维正态分布,且Ｘ与Y不相关，故X与Y相互独立，于是 fX|Y(x|y)＝fX(x). 因此选(A) .
二、填空题:(11-1６小题，每小题4分，共2４分. 把答案填在题中横线上)
(1１）
?211111xedx= e2. 3x2
2007考研数学一试题及标准答案解析
