学而思小学奥数知识点梳理
学而思教材编写组 侍春雷
前言
小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述
一、 计算
1． 四则混合运算繁分数
⑴ 运算顺序
⑵ 分数、小数混合运算技巧
一般而言：
① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算
⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序
① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质
④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数
形如：a1?b?a2?b?......?an?b?(a1?a2?......?an)?b
3． 估算
求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小
① 通分
a. 通分母
1 / 9
b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质
若
mnmmnn111??，则c>b>a.。形如：1?2?3，则1?2?3。
n1n2n3m1m2m3abc5． 定义新运算
6． 特殊数列求和
运用相关公式：
n?n?1? 2n?n?1??2n?1?222②1?2???n?
6①1?2?3?n?③an?n?n?1??n?n
2④1?2???n??1?2??n?3332n2?n?1??
42⑤abcabc?abc?1001?abc?7?11?13 ⑥a?b??a?b??a?b?
22⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
2二、 数论
1． 奇偶性问题
奇?奇=偶 奇×奇=奇 奇?偶=奇 奇×偶=偶 偶?偶=偶 偶×偶=偶
2． 位值原则
形如：abc=100a+10b+c
3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4． 整除性质
① 如果c|a、c|b，那么c|(a?b)。 ② 如果bc|a，那么b|a，c|a。
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③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④ 如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5． 带余除法
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1a1× p2a2×...×pkak
7. 约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n= p1a1× p2n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1a1）（1+P2+P2+…p2
22a2a2×...×pk
ak那么：
）…（1+Pk+Pk+…pk
2ak）
8. 同余定理
① 同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于
模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)
②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9．完全平方数性质
①平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 ④平方和。
10．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法
12．数论解题的常用方法：
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
22三、 几何图形
1． 平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
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⑵等积变形（位移、割补）
① 三角形内等底等高的三角形 ② 平行线内等底等高的三角形 ③ 公共部分的传递性 ④ 极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ⑷相似三角形性质（份数、比例）
①
abch??? ; S1︰S2=a2︰A2 ABCH
2
②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2 ⑸燕尾定理
A FDG CBE S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC； S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC； S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB； ⑹差不变原理 知5-2=3，则圆点比方点多3。 4 / 9
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。 ⑻组合图形的思考方法
① 化整为零 ② 先补后去 ③ 正反结合
2． 立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式 ⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法 ⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：V升水=V物 ②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
四、 典型应用题
1． 植树问题
①开放型与封闭型 ②间隔与株数的关系
2． 方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
（外层边长数-1）×4=外周长数 外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3． 列车过桥问题
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间 ③车长甲+车长乙=速度差×追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和×相遇时间 车长=速度差×追及时间
4． 年龄问题
差不变原理 5． 鸡兔同笼
假设法的解题思想 6． 牛吃草问题
原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间 7． 平均数问题 8． 盈亏问题
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小学奥数知识点梳理【完整版】
