1.4.2 充要条件
(教师独具内容)
课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．
教学难点：判断条件与结论之间的充要性．
【知识导学】
知识点 充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有01p?q，又有02q?p，就记作03p?q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为04充要条件(sufficient and necessary condition)． (2)当p是q的充要条件时，q也是p的05充要条件． (3)p是q的充要条件也常常说成“p成立06当且仅当q成立”，或“p与q07等价”．
【新知拓展】
1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p?q，则p是q的充要条件．
(3)若p?q，且q ?/ p，则称p是q的充分不必要条件． (4)若p?/ q，且q?p，则称p是q的必要不充分条件． (5)若p?/ q，且q?/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
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(1)若A?B，则p是q的充分条件． (2)若B?A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A?B且B(5)若B?A且A(6)若A
B且B
A，即AB，则p是q的充分不必要条件． B，即BA，则p是q的必要不充分条件． A，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．“?”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( ) (2)符号“?”具有传递性．( )
(3)若p?/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( ) (4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )
(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________． (2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
答案 (1)x＝1或x＝2 (2)充要 (3)充要
题型一 充要条件的概念及判断方法 例1 在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：a＝b，q：ac＝bc；
(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
[解] (1)因为a＝b?ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．
(2)因为a＋5是无理数?a是无理数，并且a是无理数?a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(3)因为a2＋b2＝0?a＝b＝0，并且a＝b＝0?a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(4)因为A∩B＝A?A?B??UA??UB，并且?UB??UA?B?A?A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
[题型探究] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？ (2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
解 作出“?”图，如右图所示，可知： p?q，r?q，q?s，s?r.
(1)p?q?s?r，且r?q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件． (2)∵s?r?q，q?s， ∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q?s；s?r；r?q. 金版点睛
判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立．若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p?q及q?p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合?大集合”的关
系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
此外，对于较复杂的关系，常用?，?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．
[跟踪训练1] 指出下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； ?α>2，?α＋β>4，(2)p：?q：?
β>2，αβ>4；??
(3)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0.
解 (1)因为A∪B＝A?B?A，而A∩B＝B?B?A，所以A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
?α>2，?α＋β>4，
(2)由?根据不等式的性质可得?
αβ>4.??β>2，?α＋β>4，?α>2，
即p?q，而由?不能推出? αβ>4β>2.???α＋β>4，
如：α＝1，β＝5满足?但不满足α>2. ?αβ>4，所以p是q的充分不必要条件．
(3)由a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0?a>0且b>0，所以p是q的充要条件．
题型二 充要条件的证明 例2 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． [证明] ①充分性： ∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． [题型探究] 已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．
证明 因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.
即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件． 另一方面，若a4－b4－2b2＝1， 即a4－(b4＋2b2＋1)＝0， a4－(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.
又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0， 即a2－b2＝1.
因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件． 金版点睛
充要条件的证明 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”?“结论”，必要性需要证明“结论”?“条件”．
[跟踪训练2] 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 ①必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b2－c
4ac>0，x1x2＝a<0，∴ac<0.
c
②充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1x2＝a<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
新教材人教版高中数学必修1 第一章 1.4 1.4.2
