第二节 基本不等式及其应用
考纲解读 1. 了解基本不等式
的证明过程.
2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究
基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.
预测2015年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲
1. 几个重要的不等式 （1）
（2）基本不等式：如果特例：
（3）其他变形： ①②③
(沟通两和(沟通两积(沟通两积
与两平方和
的不等关系式)
，则
同号.
(当且仅当“
”时取“”).
与两平方和与两和
的不等关系式) 的不等关系式)
即
④重要不等式串：
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知（1）如果值，积有最大值”. （2）如果
(定值)，则
(当且仅当“
”时取“=”).即积为定
值，和有最小值”.
.
(定值)，则
(当且仅当“
”时取“=”).即“和为定
题型归纳及思路提示
题型91 基本不等式及其应用 思路提示
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是
否成立进行验证. 例7.5 “
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：由选A.
变式1 已知A.
B.
且 C.
，则（ ）
D.
能推出
；但反之不然，因为
的条件是
， 故
变式2 （2012福建理5）下列不等式中一定成立的是（ ） A. C. 例7.6 若
出所有正确命题的序号）. ①
；②
；③
及
；④
得
及
得；⑤，即
得
.
(当且仅当
，即
，
，则下列不等式对一切满足条件的
恒成立的是 （写
B. D.
解析：对于①，由
时取等号)，故①正确；对于②，由
(当且仅当故③正确. 对于④，
时取等号)，故②正确；对于③，由
，因此对于⑤，
变式1 如果正数A. B. C.
(当且仅当
，又
时取等号)，故④不恒成立；
，则
，故⑤正确，故填①③⑤.
满足，那么（ ） 的取值唯一 的取值唯一 的取值不唯一
，且等号成立时，且等号成立时，且等号成立时
D. ，且等号成立时的取值不唯一
题型92 利用基本不等式求函数最值 思路提示
（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.
（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.
一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证 例7.7 （1）若（2）若
，求函数
的最小值； 的值域.
，求函数
分析：（1）因为（2）因为解析：因为
，即
（2）因为即故函数
满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.
，才能利用基本不等式求最值.
，当且仅当
，故需先转化为，由基本不等式得时，，所以. 当且仅当的值域为
. 取最小值. ，则
，且
，即
时，
取最大值
.
，
评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数. 变式1 （1）求函数（2）求函数（3）求函数
的最小值； 的最小值.
的值域
二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式 例7.8 已知分析：因为
，求函数
的最大值.
不是常数，所以要对
，所以首先要调整符号，又
7.2 基本不等式及其应用
