【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形
【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．
解：法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得 a2＋c2－b22a·＝c?a2＝b2?a＝b， 2ac故△ABC为等腰三角形． 判定三角形形状的两种常用途径 [提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角” 后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系． 1．(2024·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是( ) A．直角三角形 C．锐角三角形 B．钝角三角形 D．非钝角三角形 解析：选B.因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得9t2＋25t2－49t21cos C＝＝－，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B. 22×3t×5t 2．(2024·河北衡水中学三调)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2 ＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，则△ABC的形状是( ) A．等腰三角形 C．等边三角形 解析：选C.在△ABC中，因为 B．直角三角形 D．等腰直角三角形 b2＋c2＝a2＋bc，所以 b2＋c2－a2bc1 cos A＝＝＝，因为 2bc2bc2 π A∈(0，π)，所以A＝，因为sin Bsin C＝sin2A，所以bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc，得(b－ 3c)2＝0，解得b＝c，所以△ABC的形状是等边三角形，故选C. 核心素养系列11 数学运算——计算三角形中的未知量 数学运算是在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等． (2024·高考北京卷)在△ABC中，a＝3， 1 b－c＝2，cos B＝－. 2 (1)求b，c的值； (2)求sin(B＋C)的值． 【解】 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得 1－?. b2＝32＋c2－2×3×c×??2?1 －?. 因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×??2? 解得c＝5.所以b＝7. 13a33 (2)由cos B＝－得sin B＝.由正弦定理得sin A＝sin B＝.在△ABC中，B＋C＝π 22b14－A.所以sin(B＋C)＝sin A＝ 33 . 14 本题第(1)问利用余弦定理得到关于b，c的一个方程，结合b－c＝2可求出b，c的值；第(2)问利用正弦定理求出sin A的值，由同角三角函数关系求出sin(B＋C)的值体现核心素养中的数学运算． 在△ABC中，角A，B，C的对边分 别为a，b，c. 2 (1)若a＝3c，b＝2，cos B＝，求c的值； 3 (2)若 sin Acos B ＝，求cos B的值． a2b 2解：(1)因为a＝3c，b＝2，cos B＝， 3 222a2＋c2－b22（3c）＋c－（2）1 由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝. 2ac332×3c×c 所以c＝ 3 . 3 sin Acos B (2)因为＝， a2b abcos Bsin B 由正弦定理＝，得＝， sin Asin B2bb所以cos B＝2sin B. 从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)， 4 故cos2B＝. 5 因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0， 25 从而cos B＝. 5 [基础题组练] 1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝b A．3 C．2 B．22 D．3 3且2
2024版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第四章 第6讲 第1课时 正弦定理和余弦定理
