2．2光纤传输原理
研究光纤中光的传播特性（即光纤传输原理，又称为光纤的导光原理）的主要方法有光射线分析法（又名几何光学法、光射线追踪法〕和波动理论分析法（又名圆波导的模式理论、电磁波分析法〕。为了获得光纤中光功率传播机理的详尽描述，必须在光纤中并且在满足纤芯和包层圆柱形界面的边界条件下求解麦克斯韦方程，这称为波动理论分析法。但在光纤的半径与波长之比很大时，即在短波长极限（波数k?2?/?非常大，波长??0）条件下，用几何光学的射线方程作近似分析，可以得到光纤导波特性的很好的近似结果，这就是光射线分析法。尽管射线分析法仅在零波长极限时才严格成立，但对于多模光纤这样包含大量导波模式的非零波长系统，射线分析法仍可以提供相当精确的结果，而且是极有价值的，与严格的电磁波（模式）分析比较，射线分析法的优点是可以给出光纤中光传播特性的更直观的物理解释。不管是射线方程还是波动方程，数学推演都很复杂，关于它们的完整描述，请读者参考相关的书籍，本书只侧重选取其中的主要部分和有重要价值的结果。
2．2．1 光射线分析法
用光射线分析法分析光纤传输原理，重点关注的是光束在光纤中传播的时空分布（空间分布和时间分布〕，由此得到对认识和分析光纤有重要意义的数值孔径（NA）和传输时延（??）的概念。本节用射线光学理论对阶跃型及渐变型多模光纤的传输特性进行分析。 1．突变型多模光纤 （1）数值孔径（NA）
全反射现象是光纤传输的基础。光纤的导光特性基于光射线在纤芯和包层界面上的全反射，使光线限制在纤芯中传输。光纤中有两种光线，即子午光线和斜射光线。子午光线是位于子午面（过光纤轴线的平面）上的光线，而斜射光线是不经过光纤轴线传输的光线。为简化分析，以子午光线为例，分析光纤的传输条件。如图2-4所示的阶跃型光纤，纤芯折射率为n1，包层的折射率为n2，空气折射率n0=1，纤芯中心轴线与Z轴一致，光线在光纤端
面以小角度?从空气入射到纤芯（n0?n1），折射角为?1，折射后的光线在纤芯直线传播，并在纤芯与包层的分界面以角度?入射到包层（n2?n1）。改变角度?，不同?对应的光线将在纤芯与包层的分界面发生反射和折射，根据全反射原理，存在一个临界角度
?c，当???c时，相应的光线将在纤芯与包层的分界面发生全反射返回纤芯，并以折线形
状向前传播，如图中的光线1。根据折射定律（Snell定律），有
n0sin??n1sin?1?n1cos?1 （2-1）
当???C时，相应的光线将以 ?C入射到分界面，并沿分界面向前传播（折射角为90
度），如图中的光线2，当?c???时，相应的光线将在分界面折射进入包层并逐渐消失，如图中的光线3。因此只有在半锥角为???c的圆锥内入射的光束才能在光纤中传播。根据这个传输条件，定义临界角?c的正弦为数值孔径（NA）。根据定义和Snell定律有
NA?n0sin?C?n1cos?C,n1sin?C?n2sin90? （2-2）
n0=1，由式（2-2）并经过简单的推导，有
?C?arcsin???n1?22? （2-3），（2-4） ,NA?n?n12??n2?纤芯和包层的相对折射率差，定义为? ，则有
2n12?n2n1?n2 （2-5） ???2n12n1则光纤的数值孔径（NA）可以表示为
2NA?n12?n2?n12? （2-6）
NA是表示光纤波导特性的重要参数，它反映光纤与光源或探测器等元件耦合时的耦合
效率。应注意，光纤的数值孔径仅决定于光纤的折射率，而与光纤的几何尺寸无关，在多模阶跃折射率光纤中，满足全反射但入射角不同的光线的传输路径是不同的，结果使不同的光线所携带的能量到达终端的时间不同，从而产生了光脉冲展宽，这就限制了光纤的传输容量。 NA越大，纤芯对光能量的束缚能力越强，光纤抗弯曲的性能越好，但NA越大，经过光纤传输后产生的光脉冲展宽越严重，信号的畸变越大，光纤的传输容量越小。所以应该根据实际应用的需要，合理地选择光纤的NA。 （2）时间延迟（ ?）
下面主要分析光线在光纤中的传播时间。根据图2-4，入射角为?的光线在长度为L（ox）的光纤中传播，所经历的光程为L（oy），在?不大的条件下，其传播时间即时间延迟为
n1L(oy)n1Ln1L?12???sec?1?(1?) （2-7）
ccc2式中，C为真空中的光速。由式（2-7）得到最大入射角（???C）和最小入射角（?=0）的光线之间的时间延迟差近似为
???nLL2L?C?(NA)2?1? （2-8） 2n1c2n1cc单位长度光纤的最大群时延差为
??d?n1? （2-9） c这种时间延迟差在时间域会产生光脉冲展宽，或称为信号畸变，群时延差限制了光纤的传输
带宽。由此可见，突变型多模光纤的信号畸变是由于不同入射角的光线经过光纤传播后，其时间延迟不同而产生的。假设光纤的NA=0．20，n1=1．50，L=1km，根据式（2-8）得到的脉冲展宽??=44ns，相当于10MHz·km左右的带宽。为了减少多模阶跃折射率光纤的脉冲展宽，人们制造了多模渐变折射率光纤。 2．渐变型多模光纤
渐变折射率光纤的折射率在纤芯中连续变化。适当选择折射率的分布形式，可以使不同入射角的光线有大致相同的光程，从而大大减小群时延差。光学特性决定于它的折射率分布。渐变型光纤的折射率分布可以表示为
???r???n0?1????g???a??n(r)???n2???r?a （2-10） r?a式中，g是折射率变化的参数；a是纤芯半径；r是光纤中任意一点到轴心的距离；?是渐变折射率光纤的相对折射率差，即
??n0?na （2-11） n0阶跃折射率光纤也可以认为是g=?的特殊情况。使群时延差减至最小的最佳的g在2左右，称为抛物线分布。下面用射线光学理论分析渐变折射率光纤中子午光线的传输性质。光线在介质中的传输轨迹应该用射线方程表示为
ddr(n)??n （2-12） dsds式中，r是轨迹上某一点的位置矢量；s为射线的传输轨迹；ds是沿轨迹的距离单元；?n表示折射率的梯度。将射线方程应用到光纤的圆柱坐标中，讨论平方律分布的光纤中的近轴子午光线，即和光纤轴线夹角很小，可近似认为平行于光纤轴线（z轴）的子午光线。由于光纤中的折射率仅以径向变化，沿圆周方向和z轴方向是不变的。因此，对于近轴子午光线，射线方程可简化为
d2r1dn? （2-13） dz2ndr式中，r是射线离开轴线的径向距离。由平方律分布，有
n?dn??2r02 （2-14） dra将式（2-14）代入式（2-13），得
2n0rd2r??? （2-15） dz2na2对近轴光线，n0/n?1，因此式（2-15）可近似为
d2r2r??? （2-16） dz2a2设z=0时，r=r0，
dr?r0? ，式（2-16）的解为 dz r?r0cos??z2???z2??a??r0??? （2-17） sin?a???2????a?这就是平方律分布的光纤中近轴子午光线的传输轨迹。从光纤端面上同一点发出的近轴子午
光线经过适当的距离后又重新汇集到一点。也就是说，它们有相同的传输时延，有自聚焦性质。
如果不作近轴光线的近似，分析过程就会变得比较复杂，但从射线方程同样可以证明，当折射率分布取双曲正割函数时，所有的子午光线具有完善的自聚焦性质。自聚焦光纤的折射率分布为
n?r??n0sech(ar)?n0?1?式中，a?2?a??122544?ar?ar??? （2-18） 224?，可见平方律分布（抛物线分布）是sech（ar）分布忽略高次项的近似。由
以上分析可知，要想子午线聚焦，折射率分布可用n（r）=n0sech（ar）的形式或用
r??n(r)?n0?1??()2?的形式。g=2的平方律分布（抛物线分布）是目前通行的分布形式。
a?? 渐变型多模光纤具有自聚焦效应，不仅不同入射角相应的光线会聚集在同一点上，而且
这些光线的时间延迟也近似相等。这是因为光线传播速度v（r）=c/n（r）（c为光速），入射角大的光线经历的路程长，但大部分路程远离中心轴线，n（r）较小，传播速度快，补偿了较长的路程。入射角小的光线情况正好相反，其路程越短，传播速度越慢。所以这些光线的时间延迟近似相等。
如图2-5所示，假设在光线传播轨迹上任意一点（z，r）的速度为v（r），其径向分量为
dr?v(r)sin? （2-19） dt那么光线从O点到P点的时间延迟为
m??2?dt?2?0dr （2-20）
v(r)sin?
由图2-5可以得到n(0)cos?0?n(r)cos??n(rm)cos?，又v（r）=c/n（r）（c为光速），利用这些条件，再把渐变型多模光纤折射率分布公式代入式（2-20），可以得到
??2an(0)c2??mr(1?2?a2)02rmdr?(1??2) （2-21）
22ac2?rm?r2a?n(0)和突变型多模光纤的处理相似，取?0??C(rm?a)和?0?0(rm?0)的时间延迟差为
?? ，由式（2-21）得到
???a?n(0)c2?? （2-22）
假设a=25 um，n（0）=1．5，?=0．01，则由式（2-22）求得的??=0．03 ps。
2．2．2 波动理论分析法
用射线光学理论分析法虽然可简单直观地得到光线在光纤中传输的物理图像，但由于忽
略了光的波动性质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布以及其他许多特性。尤其是对单模光纤，由于芯径尺寸小，射线光学理论就不能正确处理单模光纤的问题。因此，在光波导理论中，更普遍地采用波动光学的方法，即把光作为电磁波来处理，研究电磁波在光纤中
的传输规律，得到光纤中的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。本节先用波动光学的方法求解波动方程，而后引入模式理论得到 光纤的一系列重要特性。
1．圆柱坐标系中的波导方程式 对于圆柱形光纤，采用圆柱坐标系更合适，如图2-6所示。
（1）圆柱坐标系中横向场方程式 在圆柱坐标系中用纵向场Ez、Hz分量表示的横向场Er、E?、Hr、H?分量为
式中，k?nk0，而k0??/c为自由空间的波数，n2??/?0；n为介质的折射率。 （2）圆柱坐标系中的波动方程
均匀波导中纵向场Ez、Hz的波动方程为
在圆柱坐标系中纵向场Ez、Hz的波动方程表示为
光通信解析
