第三章 分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1 例题分析
例1 解下列定解问题：
???2u22?u??t2?a?x20?x?l,t?0??u?0,?u?0 ?x?0?x （1） x?l???u2?ut?0?x?2lx,?t?0t?0解：分离变量，即令
u(x,t)?X(x)T(t) （2）
代入方程（（1）中第一式），得
T??(t)??a2T(t)?0 X??(x)??X(x)?0 （4）
其中?为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
X(0)?X?(l)?0 相应的本证值问题为求
??X??(x)??X(x)?0?X(0)?X?(l)?0 的非零解．下面针对?的取值情况进行讨论：
（1）当??0时，（6）式中方程的通解是
X(x)?Ae???x?Be??x （7）
其中A，B为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
???A?B?0? （8）
??Ae???l?Be??l?0 由（8）得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故不可能有??0。
(2) 当??0时，（6）式中方程的通解是
X(x)?Ax?B
由边界条件得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故也不可能有??0。 （3）当 ???2?0时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为1 / 44
3）5）6） （
（
（
X(x)?Acos?x?Bsin?x
代入条件（6）中边界条件，得
A?0,Bcos?l?0
由于 B?0，故 cos?l?0，即
??从而得到一系列固有值与固有函数
2n?1?2l(n?0,1,2,?)
(2n?1)2?2?n? 24lXn(x)?Bnsin(2n?1)?x(n?0,1,2,?) 2l(n?0,1,2,?)
与这些固有值相对应的方程（3）的通解为
?cosTn(t)?Cn(2n?1)?a(2n?1)?a?sint?Dnt2l2l于是，所求定解问题的解可表示为
(2n?1)?a(2n?1)?a?(2n?1)??u(x,t)???Cncost?Dnsint?sinx
2l2l2l??n?0?利用初始条件确定其中的任意常数Cn,Dn，得
Dn?0
2l2(2n?1)?Cn??(x?2lx)sinxdxl02l 232l??(2n?1)3?3故所求的解为
u(x,t)??32l2?31(2n?1)?a(2n?1)??costsinx ?3(2n?1)2l2ln?0?
例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l，被拨开的点在弦长的解定解问题
1(n0为正整数)处，拨开距离为h，试求解弦的振动，即求n02 / 44
?utt?a2uxx?0(0?x?l)??u|x?0?u|x?l?01??n0hx(0?x?)??l?n0
??1u|??t?0?h(l?x)(?l)?l?n0l???n0????ut|t?0?0解：将u(x,t)?X(x)T(t)代入原方程及边界条件得
T''??a2T?0 （1）
?X''??X?0 （2） ??X(0)?X(l)?0解(2)第一式可得
X(x)?Ccos?x?Dsin?x
由（2）的第二式得
n2?2?n?2，
lXn(x)?Dnsin将?代入（1）并解得
n?x,ln?1,2,3,?
Tn(t)?Ancosu(x,t)??(Ancosn?1?n?atn?at ?Bnsinlln?atn?atn?x?Bnsin)sin lll由初始条件得
1?n0hx(0?x?)?ln0?n?at?1 Ancos??h(l?x)?(?l)ln?1?ln0l??n0?n?a?n?atn?xBcossin?0 ?nln?1ll所以
Bn?0
3 / 44
1lh(l?x)2n0n0hxn?xAn?[?sindx??1dx0lllln0l?n0 22n0hn??22sinn0n?(n0?1)从而
2?2n0h1n?n?atn?x u(x,t)?2sincossin?2n0ll?(n0?1)n?1n例3 求解细杆的导热问题，杆长l，两端保持零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/t. 解：该问题的定解问题为
2?ut?a2uxx?bx(l?x)?u|? （1） ?t?02l???u|x?0?u|x?l?0令u(x,t)?X(x)T(t), 代入(1)第一式可得，
X''(x)??X(x)?0 （2） T'(t)?a2?T(t)?0 （3）
由(2)得
X(x)?Acos?x?Bsin?x （4）
由(1)第三式可得
X(0)T(t)?0，X(l)T(t)?0
因为??0所以X(0)?X(l)?0
由X(0)?0得A?0，
n2?2由X(l)?Bsin?l?0，B?0得?n?l2(n?1,2,3,?)， 于是有
222n?at?n?x?a2?ntXn?Bnsin，Tn(t)?Cne?Cnell(n?1,2,3,L)，
因此
un(x,t)?Cne?n2?2a2tlsinn?x， l4 / 44
u(x,t)??Cnen?1??n2?2a2tlsinn?x l将
bx(l?x)作Fourier展开得 2lbx(l?x)?n?x?Bsin ?nll2n?1其中
Blbx(l?x)n?xn?2l?0t2sinldx?4b
n3?3[1?cosn?](n?1,2,3,?)于是
C4bn?Bn?n3?3[1?cosn?](n?1,2,3,?)
因此
2?2a2tu(x,t)???4bn[1?cosn?]l2n?1n3?3esinn?xl?(2k?1)2?2a2t??8bl2sin2k?1k?1(2k?1)3?3el?x例4 在矩形域 0?x?a,0?y?b内求Laplace方程
?2u??2u?x??2u2?y2?0 （1）
的解，使其满足边界条件
??ux?0?0u?x?a?Ay(2)??uyy?0?0uyy?b?0(3) 解：令 u(x,y)?X(x)Y(y)，代入式(1)，有
X??(x)??X(x)?0 Y??(y)??Y(y)?0 又由边界条件(3)得
Y?(0)?Y?(b)?0 当??0时，式(5)的通解为
Y(y)?C???y1e?C??y2e
5 / 44
4）5）(6)
（ （
北邮数理方程课件-第三章-分离变量法
