“华约”年自主招生数学全真模拟试题
数学与逻辑
A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/7
3.正四棱锥S?ABCD中,侧棱与底面所成的角为?,侧面与底面所成的角为?,侧面等腰三角形的底角为?,相邻两侧面所成的二面角为?,则?、?、?、?的大小关系( ) (A)???????(B)???????(C)???????(D)??????? 4. 已知f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2007|(x∈
2
R),且f(a-3a+2)=f(a-1).则a的值有( ).
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个
?x?2?5.平面上满足约束条件?x?y?0的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x
?x?y?10?0?对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为( A.
65 5)
B.
125 52
C.
83 5D.
163 56. 若m、n∈{x|x=a2×10+a1×10+a0},其中ai∈{1,2,3,4,5,6,7},i=0,1,2,并且m+n=636,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为( ).
(A)60个 (B)70个 (C)90个 (D)120个 7.数列?an?定义如下:a1?1,a2?2,an?2?2?n?1?nan?1?an,n?1,2,n?2n?21 4 7
2 5 8 .若3 6 9 am?2?2011,则正整数m的最小值为( ). 2012A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为1,2,?,9
1
的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且“3、5、7”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120
9.设an=2,bn=n,(n=1,2,3,。。。),An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn,则数列{cn}的前10项和为( A.2+53
10
n
)
9
B.2 +53 C.110×(2-1)
11
D.110×(2-1)
10
10如图,以O(0,0)、A(1,0)为顶点作正?OAP1,再以P1和P1A的中点B为顶点作正
?P1BP2,再以P2和P2B的中点C为顶点作正?P2CP3,…,如此继续下去.则下面选项中
错误的是 ( )
A所作的正三角形的边长构成公比为比数列;
B每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2(x?1)上;
C第六个正三角形的不在第五个正三角形边
1的等2P1CP2P3P6P5P46325,3); 6464D第2004个正三角形的不在第2003个正三
上的顶点P6的坐标是(角形边上的顶点P2004的横坐标是
Bx2004?1?122004.
OA二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x2y2?2?12b11.(本小题满分14分)已知双曲线C:a(a?0,b?0)的离心率为2,过
m)(m?0)斜率为1的直线l交双曲线C于A、B两点,且AP?3PB,点P(0,OA?OB?3.
(1)求双曲线方程;
(2)设Q为双曲线C右支上动点,F为双曲线C的右焦点,在x轴负半轴上是否存在定点M使得?QFM?2?QMF?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 12.(本小题满分14分)已知函数F?x??3x?2?1?,?x??. 2x?1?2?(I)求F??1??2??2008??F?...?F?????;
200920092009?????? 2
(II)已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?,求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 求证:a1a2a3...an?2n?1.
13.(本小题满分14分)设函数f(x)=x-mlnx,h(x)=x-x+a. (I) 当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (II) 当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a
的取值范围;
(III) 是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?
若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。
14.(本小题满分14分)在△ABC中,设A、B、C的对
边分别为a、b、c向量m?(cosA,sinA),n?(2?sinA,cosA),若|m?n|?2,
(1)求角A的大小; (2)若b?42,且c?2
2
2a,求?ABC的面积.
15.(本小题满分14分)已知m,n为正整数.
m(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)≥1+mx;
1?1m????1?(Ⅱ)对于n≥6,已知?1???,求证?1?????,m=1,1,2…,n;
2?n?3??n?3??2?(Ⅲ)求出满足等式3+4+…+(n+2)=(n+3)的所有正整数n. 2013年“华约”
高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1答案 1.C 2.B 3.A
nmmnnnm
4.解:由题设知f(x)为偶函数,则考虑在-1≤x≤1时,恒有
3
f(x)=2×(1+2+…+2007)=2008×2007. 22
所以当-1≤a-3a+2≤1,且-1≤a-1≤1时,恒有f(a-3a+2)=f(a-1).
3-53+52
由于不等式-1≤a-3a+2≤1的解集为≤a≤,不等式-1≤a-1≤1的解
223-52
集为0≤a≤2.因此当≤a≤2时,恒有f(a-3a+2)=f(a-1). 故选(D).
25.(B).
6.解:由6=5+1=4+2=3+3及题设知,个位数字的选择有5种. 因为3=2+1=7+6-10,故(1) 由3=2+1知,首位数字的可能选择有2×5=10种;(2) 由3=7+6-10及5=4+1=2+3知,首位数字的可能选择有2×4=8种. 于是,符合题设的不同点的个数为5×(10+8)=90种. 故选(C).
7.A 8.B解:首先看图形中的1,5,9,有3种可能, 当1,5,9,为其中一种颜色时, 2,6共有4种可能,其中2种2,6是涂相同颜色,各有2种可能共6种可能. 4,8及7,与2,6及3,一样有6种可能并且与2,6,3,颜色无关.
当1,5,9换其他的颜色时也是相同的情况,符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种, 9.(D). 10.C 解:由题意可得,每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的1/2 ,故①正确; 根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上,故②正确;
第六个正三角形的边长为1/64 ,故顶点P6的横坐标为63/64 ,P5的纵坐标为
3/2-3/8-3/16 =53/16
从而顶点P6的纵坐标为53/16 +3/64 =213/64 ,故C错误; 第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn,xn=1?1 ,则2n?1limxn ?1n→∞,故D正确.
x2y2?2?12b?3a3a11.(1)由双曲线离心率为2知,c?2a,,双曲线方程化为a.
?x2y2?2?2?1?a3a?y?x?my?x?ml又直线方程为.由?,得
2x2?2mx?m2?3a2?0. ①
?m2?3a2x1x2?A(x1,y1)B(x2,x1?x2?my2)2设,,则,.
因为 AP?3PB,所以
(?x1,m?y1)?3(x2,y2?m),
x1??3x2.
4
?m2?3a231x1x2?x1?mx2??mx1?x2?m22,2结合,解得.代入,得32?m2?3a2?m?2242,化简得m?6a.又
OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(x1?m)(x2?m)?2x1x2?m(x1?x2)?m2?m2?3a2?3a2,
且OA?OB?3.
22m?62x?26x?9?0,显然该方程有两个不a?1所以.此时,,代入①,整理得同的实根.a?1符合要求.
2y2x??13故双曲线C的方程为.
20).0).(2)假设点M存在,设M(t,由(1)知,双曲线右焦点为F(2,设
为双曲线C右支上一点.
Q(x0,y0)x0?1(
)
当
x0?2tan?QFM??kQF??时,
y0ytan?QMF?kQM?0x0?2,x0?t,因为
y0yx0?t?0?x0?21?(y0)2x0?t. ?QFM?2?QMF,所以
2?2222?2x0?(4?2t)x0?4t??2x0?2tx0?t2?3y?3x?300将代入,并整理得,.
?4?2t??2t??4t?t2?3?于是 ,解得t??1.
当
x0?200?QFM?90?QMF?45t??1时,,而时,,符合?QFM?2?QMF.
0). 所以t??1符合要求.满足条件的点M存在,其坐标为(?1,12.解:(?)因为F?x??F?1?x??3x?23?1?x??2??3 2x?12?1?x??1所以设S=F?
?1??2??2008??F?...?F?????;..........(1)
?2009??2009??2009?5
“华约”年自主招生数学全真模拟试题
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