“华约”年自主招生数学全真模拟试题
数学与逻辑
A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/7
3．正四棱锥S?ABCD中，侧棱与底面所成的角为?，侧面与底面所成的角为?，侧面等腰三角形的底角为?，相邻两侧面所成的二面角为?，则?、?、?、?的大小关系（ ） （A）???????（B）???????（C）???????（D）??????? 4. 已知f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2007|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2007|（x∈
2
R），且f(a－3a＋2)＝f(a－1)．则a的值有（ ）.
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个
?x?2?5.平面上满足约束条件?x?y?0的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x
?x?y?10?0?对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为（ A．
65 5）
B．
125 52
C．
83 5D．
163 56. 若m、n∈{x|x＝a2×10＋a1×10＋a0}，其中ai∈{1，2，3，4，5，6，7}，i＝0，1，2，并且m＋n＝636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（ ）．
（A）60个 （B）70个 （C）90个 （D）120个 7．数列?an?定义如下：a1?1,a2?2,an?2?2?n?1?nan?1?an,n?1,2,n?2n?21 4 7
2 5 8 .若3 6 9 am?2?2011，则正整数m的最小值为( ). 2012A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为1,2,?,9
1
的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120
9．设an=2，bn=n，（n=1，2，3，。。。），An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn，则数列{cn}的前10项和为（ A．2+53
10
n
）
9
B.2 +53 C.110×（2－1）
11
D.110×（2－1）
10
10如图，以O(0,0)、A(1,0)为顶点作正?OAP1，再以P1和P1A的中点B为顶点作正
?P1BP2，再以P2和P2B的中点C为顶点作正?P2CP3，…，如此继续下去．则下面选项中
错误的是 ( )
A所作的正三角形的边长构成公比为比数列；
B每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2（x?1）上；
C第六个正三角形的不在第五个正三角形边
1的等2P1CP2P3P6P5P46325,3)； 6464D第2004个正三角形的不在第2003个正三
上的顶点P6的坐标是(角形边上的顶点P2004的横坐标是
Bx2004?1?122004．
OA二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x2y2?2?12b11.（本小题满分14分）已知双曲线C：a（a?0，b?0）的离心率为2，过
m)（m?0）斜率为1的直线l交双曲线C于A、B两点，且AP?3PB，点P(0，OA?OB?3．
（1）求双曲线方程；
（2）设Q为双曲线C右支上动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得?QFM?2?QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12.（本小题满分14分）已知函数F?x??3x?2?1?,?x??. 2x?1?2?（I）求F??1??2??2008??F?...?F?????;
200920092009?????? 2
（II）已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?,求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 求证:a1a2a3...an?2n?1.
13.（本小题满分14分）设函数f(x)=x-mlnx,h(x)=x-x+a. （I） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围; （II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a
的取值范围;
（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？
若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
14.（本小题满分14分）在△ABC中，设A、B、C的对
边分别为a、b、c向量m?(cosA,sinA),n?(2?sinA,cosA),若|m?n|?2,
（1）求角A的大小； （2）若b?42,且c?2
2
2a,求?ABC的面积.
15．（本小题满分14分）已知m，n为正整数.
m（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)≥1+mx；
1?1m????1?（Ⅱ）对于n≥6，已知?1???，求证?1?????，m=1,1,2…，n；
2?n?3??n?3??2?（Ⅲ）求出满足等式3+4+…+(n+2)=(n+3)的所有正整数n. 2013年“华约”
高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1答案 1．C 2.B 3.A
nmmnnnm
4.解：由题设知f(x)为偶函数，则考虑在－1≤x≤1时，恒有
3
f(x)＝2×(1＋2＋…＋2007)＝2008×2007． 22
所以当－1≤a－3a＋2≤1，且－1≤a－1≤1时，恒有f(a－3a＋2)＝f(a－1)．
3－53＋52
由于不等式－1≤a－3a＋2≤1的解集为≤a≤，不等式－1≤a－1≤1的解
223－52
集为0≤a≤2．因此当≤a≤2时，恒有f(a－3a＋2)＝f(a－1). 故选（D）．
25．（B）．
6.解：由6＝5＋1＝4＋2＝3＋3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3＝2＋1＝7＋6－10，故（1） 由3＝2＋1知，首位数字的可能选择有2×5＝10种；（2） 由3＝7＋6－10及5＝4＋1＝2＋3知，首位数字的可能选择有2×4＝8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5×(10＋8)＝90种. 故选（C）．
7.A 8.B解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能， 当1，5，9，为其中一种颜色时， 2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能． 4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．
当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种， 9．（D）． 10.C 解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的1/2 ，故①正确； 根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为1/64 ，故顶点P6的横坐标为63/64 ，P5的纵坐标为
3/2-3/8-3/16 =53/16
从而顶点P6的纵坐标为53/16 +3/64 =213/64 ，故C错误； 第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，xn=1?1 ，则2n?1limxn ?1n→∞，故D正确．
x2y2?2?12b?3a3a11.（1）由双曲线离心率为2知，c?2a，，双曲线方程化为a．
?x2y2?2?2?1?a3a?y?x?my?x?ml又直线方程为．由?，得
2x2?2mx?m2?3a2?0． ①
?m2?3a2x1x2?A(x1，y1)B(x2，x1?x2?my2)2设，，则，．
因为 AP?3PB，所以
(?x1，m?y1)?3(x2，y2?m)，
x1??3x2．
4
?m2?3a231x1x2?x1?mx2??mx1?x2?m22，2结合，解得．代入，得32?m2?3a2?m?2242，化简得m?6a．又
OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(x1?m)(x2?m)?2x1x2?m(x1?x2)?m2?m2?3a2?3a2，
且OA?OB?3．
22m?62x?26x?9?0，显然该方程有两个不a?1所以．此时，，代入①，整理得同的实根．a?1符合要求．
2y2x??13故双曲线C的方程为．
20)．0)．（2）假设点M存在，设M(t，由（1）知，双曲线右焦点为F(2，设
为双曲线C右支上一点．
Q(x0，y0)x0?1（
）
当
x0?2tan?QFM??kQF??时，
y0ytan?QMF?kQM?0x0?2，x0?t，因为
y0yx0?t?0?x0?21?(y0)2x0?t． ?QFM?2?QMF，所以
2?2222?2x0?(4?2t)x0?4t??2x0?2tx0?t2?3y?3x?300将代入，并整理得，．
?4?2t??2t??4t?t2?3?于是 ，解得t??1．
当
x0?200?QFM?90?QMF?45t??1时，，而时，，符合?QFM?2?QMF．
0)． 所以t??1符合要求．满足条件的点M存在，其坐标为(?1，12.解:(?)因为F?x??F?1?x??3x?23?1?x??2??3 2x?12?1?x??1所以设S=F?
?1??2??2008??F?...?F?????;..........（1）
?2009??2009??2009?5
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