学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题
求证：(1）对于n?N?恒有an?1?an成立; （２）当n?2且n?N?，有an?1?anan?1?a2a1?1成立； （３）1?122006?111?????1 a1a2a2006分析:（1)用数学归纳法易证。
(2)由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1) … … a2?1?a1(a1?1)
以上各式两边分别相乘得: an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1),又a1?2 ?an?1?anan?1?a2a1?1 （3)要证不等式1?2122006?111?????1， a1a2a2006可先设法求和：
111????,再进行适当的放缩。 a1a2a20061an?1?1?11111???? an?1ananan?1an?1?1?an?1?1?an(an?1)??111111111?????(?)?(?)???(?) a1a2a2006a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?11112006??1??22006 ?1又a1a2?a2006?a1a1?1a2007?1a1a2?a200611?1?2006?原不等式得证。
a1a2?a20062??1?本题的关键是根据题设条件裂项求和。
数列和不等问题(学生版）
一．先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理）
例1.正数数列?an?的前n项的和Sn,满足2Sn?an?1,试求: （1）数列?an?的通项公式；
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(２）设bn?
真题演练1:(０6全国1卷理科2２题)设数列?an?的前n项的和，Sn?11，数列?bn?的前n项的和为Bn，求证：Bn? anan?12412an??2n?1?,n?1,2,3,3333． 2
2n(Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,Sn
二．先放缩再求和
1.放缩后成等比数列，再求和
，证明:
?Ti?i?1n1例2.等比数列?an?中，a1??，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列.
2
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a1设bn?n，数列?bn?前n项的和为Tn,证明：Tn?．
31?an
真题演练2：(06福建卷理科2２题)已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*). ?(I)求数列?an?的通项公式;
（IＩ）若数列?bn?滿足4b1?14b2?1(Ⅲ)证明：
2.放缩后为“差比”数列,再求和
例３．已知数列{an}满足:a1?1,an?1?(1?
24bn?1?(an?1)bn(n?N*)，证明:数列?bn?是等差数列;
an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12
nn?1)a(n?1,2,3?)a?a?3?．求证： nn?1nnn?122学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题
３.放缩后成等差数列，再求和
2?an?2Sn. 例4.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且anan2?an?12(1） 求证：Sn?；
4(2） 求证: 练习：
1．(08南京一模２2题）设函数f(x)?SnS?1?S1?S2?????Sn?n?1 22123x?bx?，已知不论?,?为何实数，恒有f(cos?)?0且44f(2?sin?)?0.对于正数列?an?,其前n项和Sn?f(an)，(n?N*).
（Ⅰ) 求实数b的值；（IＩ）求数列?an?的通项公式;
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（Ⅲ）若cn?
2.（04全国）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?2an?(?1)n, n?1 （１）写出数列{an}的前三项a1，a2,a3;（2)求数列{an}的通项公式； (3)证明:对任意的整数m?4，有
3.（07武汉市模拟)定义数列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N?
求证:（1)对于n?N?恒有an?1?an成立； (2)当n?2且n?N?，有an?1?anan?1?a2a1?1成立； (3)1?
211,n?N?，且数列?cn?的前n项和为Tn，试比较Tn和的大小并证明之． 1?an61117????? a4a5am8122006?111?????1 a1a2a2006
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