第六讲 计算——工具与算法的变迁
研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算． 初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式等．
【例1】 现有四个有理数3，4，一6，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：
(1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题)
思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．
注： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维． 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”． 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算；
(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．
【例2】 如果4个不同的正整数m、n、p、q满足(7?m)(7?n)(7?p)(7?q)?4，那么，m?n?p?q等于( )．
A．10 B．2l C．24 D．26 E．28 (新加坡数学竞赛题)
思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式． 【例3】 计算： (1)1?111； (“祖冲之杯”邀请赛试题) ????1?21?2?31?2?3???100(2)19492—19502+19512—19522+…+19972—19982+19992 (北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002．
思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．
【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是 数；
(2)设a?3，b?4，c?5 ，则a、b、c的大小关系是 (用“>”号连接)； (3)求证：32002+42002是5的倍数．
554433 思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③a2n?0；④an与a的奇偶性相同；⑤在n4k?r中(k，r为非
4k?r负整数，n?0，0≤r<4)，当r=0时，n的个位数字与n4的个位数字相同；当r?0时，?
n4k?r的个位数字与nr的个位数字相同．
注：在求和中错位相减、倒序相加是计算中常用的技巧．
【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：
（1）证明：可以得到22；
（2）证明；可以得到2100?297?2．
学力训练
1．（1）计算：211×（-455）+365×455-211×545+545×365+ ； （2）若a??200420032002，b??，c??，则a、b、c的大小关系是 （用200320022001“＜”号连接＝．
2．计算：
4351?2?(?15)?0.7???(?15)? ； 94941919197676（2）= ； ?7676761919111（3）= ； ????3?55?71997?1999（1）0.7?1（4）(13.672?125?136.72?12.25?1367.2?1.875)?17.09? ． 3．在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号（不再添加括号），使得等式成立： 6 3 2 12=24 111得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的 2341又得到一个数，……，依次类推，一直加到上一次得数的，那么最后得到的数
19994．1999加上它的是 ．
5．根据图所示的程序计算，若输入的x值为A ．
3，则输出的结果为（ ）． 27919 B． C． D． 24222000?2000?20001999?1999?1999，b??，
1999?1999?19991998?1998?1998 (北京市海淀区中考题) 6．已知a??c??2001?2001?2001，则abc=（ ）．
2000?2000?2000A． 一1 B．3 C． 一3 D．1 ( “希望杯”邀请赛试题)
7．如果有理数a、b、c满足关系a bc?ac的值( )． 23abcA．必为正数 B．必为负数 C．可正可负 D．可能为0 8．将322、414、910、810，由大到小的排序是( )． A．322、910、810、414 B．322、910、414、810 C． 910、810、414、322 D． 322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题) 9．阅读下列一段话，并解决后面的问题： 观察下面一列数：l，2，4，8，…，我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2． 一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． (1)等比数列5，一15，45，…的第4项是 ； (2)如果一列数a1,a2,a3,a4,?是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有 a2?q，a1a3a?q，4?q，…，所以a2?a1q，a3?a2q?(a1q)q?a1q2，a4?a3q?a1q3，…，a2a3an= (用a1与q的代数式表示)． (3)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项． (广西省中考题) abcabcnm??10．(1)已知a、b、c都不等于零，且?的最大值是m，最小值为n，求 abcabcmn的值． (2)求证：5353一3333是10的倍数． 11．计算 20032?4004?2003?2002?4008?2003?2004（1）? ； 22003?3005?2003?2003?2005?2005?3005（2）2?2?2?2?2?2?2?2?2?2= ； 23456789101?2?3?3?6?9?5?10?15?7?14?21= ； 1?3?5?3?9?15?5?15?25?7?21?35（4）98?998?9998???99????98= （3） 50各912．（1）32001?72002?132003所得积的末位数字是 ； (江苏省竞赛题) (2)若l3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303＝ ． 13．若a、b、c、d是互不相等的整数(a?b?c?d)，且abcd＝121，则 ac?bd= ． 14．你能比较20012002与20022001的大小吗? 为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较nn+1与(n+1)n的大小(n是自然数)，然后，我们从分析n＝l，n=2，n＝3……中发现规律，经归纳，猜想得出结论。 (1)通过计算，比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“>”、“=”、“<”号)． ①12 23； ②23 32；③34 43；④45 54； ⑤56 65；…… (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是 ． (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20012002 20022001． (江苏省常州市中考题) 15．如果 tttt1t2t3???1，则123的值为( )． t1t2t3t1t2t3 A．一1 B．1 C．土1 D．不确定 (2003年河北省竞赛题) 16．如果ac<0，那么下面的不等式 a?0，ac2?0，a2c?0，c3a?0，ca3?0中必定c成立的有( )． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 222232491222248????????17．设S?，T???，则1?33?55?797?9935799S?T=( )． 249249249249?1 D． ?1 A． B．1? C． 99999999 ( “五羊杯”竞赛题) 18．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这10个有理数的和为( )． 32 x 11175 A． B． C． D． 21869 (江苏省竞赛题) 19．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数： 64 11，，1，2，4，8，16，4232，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值． ab (上海市竞赛题) 20．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，a+b，a的形式，又可分别表示为0，，b的形式，求a2002+b2001的值． 21．(1)三个2，不用运算符号，写出尽可能大的数； (2)三个4，不用运算符号，写出尽可能大的数； (3)用相同的3个数字(1～9)，不用运算符号，写出最大的数． 22．如图，是一个计算装置示意图，J1,J2是数据输入口，C是计算输出口，计算过程是由 J1,J2分别输入自然数m和n，经计算后得自然数K由C输出，此种计算装置完成的计算 满足以下三个性质： (1)若J1,J2分别输入l，则输出结果为1; (2)若J1输入任何固定的自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2； (3)若J2输入l，J1输人自然数增大1，则输出结果为原来的2倍． 试问：(1)若J1输入l，J2输入自然数n，输出结果为多少? (2)若J2输入l，J1输入自然数m，输出结果为多少? (3)若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出的结果为多少? (2002年扬州中学招生试题) 参考答案
七数培优竞赛讲座第6讲 计算――工具与算法的变迁
