28．1锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)
一、情境导入
问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
二、合作探究
探究点一：特殊角的三角函数值
【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 计算：
(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； sin30°－sin45°(2). cos60°＋cos45°解析：将特殊角的三角函数值代入求解．
112313
解：(1)原式＝2××－6××＝－＝－1；
2222221－2
(2)原式＝
1＋2
22
＝22－3. 22
方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围
2
若cosα＝，则锐角α的大致范围是( )
3A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝321122
，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜222232
cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.
方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】 根据三角函数值求角度 若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( ) A．20° B．30° C．40° D．50°
解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33
.∵tan30°＝，∴α＋10°＝30°，33
∴α＝20°.故选A.
方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用
【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，
AD＝4，求BC的长．
解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABCBCBC3中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得BC＝2(3＋1)．
ABBC＋43
方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列
出式子，求出三角函数值，进而求出答案．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 判断三角形的形状
已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－3
|＝0，试判断△ABC的形状． 2
解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
解：∵(1－tanA)2＋|sinB－
33
|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，22
∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 构造三角函数模型解决问题 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C
AC1
＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝BC33
.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值． 3
CD
解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝，
BC
BC
tan75°＝求出即可．
CD
解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－3.在Rt△ADE
23－3
中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°＝＝2－3，
3BC3
tan75°＝＝＝2＋3.
CD23－3
方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计
1．特殊角的三角函数值： sinα cosα tanα 30° 1 23 23 345° 2 22 21 60° 3 21 23 2.应用特殊角的三角函数值解决问题．
课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的
教学很成功，学生理解的很好.
人教版九年级数学下 28.1 第3课时 特殊角的三角函数值 教案
