第一章 集合与函数概念
课时一：集合有关概念 1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2. 一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3. 集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}
2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
5、元素与集合的关系：
（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A
（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A ? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
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课时二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集
（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有
包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：A?B（或B?Ａ）
注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等?
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 或若集合A?B，存在x?B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
课时三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 定 义 由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属的元素所组成的集合,于集合B的元素所组成叫做A,B的交集．记作的集合，叫做A,B的并A?B（读作‘A交B’），集．记作：A?B（读作即A?B=｛x|x?A，且‘A并B’），即A?B x?B｝． ={x|x?A，或x?B})． 补 集 全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作CSA， CSA={x|x?S,且x?A} 韦恩图示 ABABS A 性 质 A ∩ A=A AUA=A AUΦ=A A ∩Φ=Φ AUB=BUA A ∩B=B?A AUB?Ａ A ∩B?A A ∩B?B AUB?B 图1 图2(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(A∩B) AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ． 课时四：函数的有关概念 1． 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使
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对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．
（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫
做函数的值域．
2． 函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3． 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域
（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以
是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义
域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，
函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。 （3）函数图像变换的特点：
1）函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x) 2）函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x) 3）函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)
课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法 1、函数解析式子的求法 （1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，
一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）、求函数的解析式的主要方法有：
1）代入法：
2）待定系数法： 3）换元法： 4)拼凑法：
2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
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求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
②定义域一致 (两点必须同时具备)
4、区间的概念：
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间
（3）区间的数轴表示 课时六：
1．值域 : 先考虑其定义域
（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的
函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值
域，注意定义域的范围。
(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类
型。
课时七
1.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 （2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
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（4）常用的分段函数
1）取整函数：
2）符号函数：
3）含绝对值的函数： 2．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f（对应关系）：A（原象）?B（象）?
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射，而映射不一定的函数
课时八函数的单调性(局部性质)及最值 1、增减函数
（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任
意两个自变量x1，x2，当x1 ＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调 不减两种 2、 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 5
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