第11讲：指数与对数的运算
一、课程标准
1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 二、基础知识回顾
1. 有关指数幂的概念 (1)n次方根
正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根．
(2)方根的性质
①当n为奇数时，nan＝a；
?②当n为偶数时，nan＝|a|＝?(3)分数指数幂的意义
a,a≥0，?-a，a＜0.
①a＝nam(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)； ②a?mnmn1＝
amn＝1nam(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)．
2. 有理数指数幂的运算性质
设s，t∈Q，a>0，b>0，则： (1)asat＝as＋t； (2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt． 3. 对数的相关概念
(1)对数的定义：如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底数N的对数，记作logaN＝b． (2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lgN；②自然对数：以e为底N的对数，简记为：lnN．
(3)指数式与对数式的相互转化：ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)． 4. 对数的基本性质
设N＞0，a＞0，a≠1，则：(1)logaa＝1；(2)loga1＝0；
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(3)logaaN＝N；(4)alogaN＝N．
5. 对数运算的法则
设M＞0，N＞0，a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则： (1)loga(MN)＝ logaM＋logaN； (2)logM
aN＝logaM－logaN； (3)logaMn＝ nlogaM． 6. 对数的换底公式
alog＞0，a≠1，b＞0，b≠1，则logaN
设N＞0，bN＝logab.
三、自主热身、归纳总结
21、化简4a3
·b－13÷?212?－3a－3b3??的结果为( ) A．－2a
3b B8a．－b C．－6ab D．－6ab
【答案】C
2?13??b－126a
【解析】原式＝－6a3－?－3－3＝－6ab－1
＝－b. 2、(log2)＋log5a4＋loga?4?5a?
29)(log3?(a>0，且a≠1)的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B
【解析】 原式＝(2log?5×45a?
23)(log32)＋loga?4?＝2×1＋logaa＝3.
3、 若lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于（
A. 1 B. 0或1 C. 1
8 8 D. log23
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）
【答案】D.
【解析】由lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)， ∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，即(2x)2－9＝0，即2x＝3，∴x＝log23.故选D.
－
4、．(多选)已知a＋a1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )
A．a2＋a－2＝7 1
C．a＋a－2＝±5 【答案】ABD
12
B．a3＋a－3＝18 D．aa＋aa＝25
1
－－－
【解析】在选项A中，因为a＋a1＝3，所以a2＋a2＝(a＋a1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，－－－－－－
因为a＋a1＝3，所以a3＋a3＝(a＋a1)(a2－1＋a2)＝(a＋a1)·[(a＋a1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选
1
112－1－12
项C中，因为a＋a＝3，所以(a＋a－2)＝a＋a＋2＝5，且a＞0，所以a＋a－2＝5，故C错误；在
121?21?－333
选项D中，因为a＋a＝18，且a＞0，所以?aa＋aa?＝a＋a＋2＝20，所以aa＋aa＝25，故D
－3
正确．
5、log225·log3(22)·log59＝________． 【答案】6
【解析】法一：log225·log3(22)·log59＝log252·log32·log532＝6log25·log32·log53＝6. lg 25lg（22）lg 9lg 52lg 2lg 32
法二：log225·log3(22)·log59＝lg 2·lg 3·lg 5＝lg 2·lg 3·lg 5＝6. x－y
6、 已知2lg2＝lgx＋lgy，则【答案】1＋2.
【解析】 利用对数的性质消去对数符号，得到关于x，y的方程再求解．
xy的值为 ．
3232?x－y?2?x－y?2
由已知得lg?2?＝lg(xy)，∴?2?＝xy， ?x?2?x?即x－6xy＋y＝0，∴?y?－6?y?＋1＝0，
2
2
x
∴y＝3±22.
x－yx
又∵2>0且x、y＞0，∴x＞y＞0，即y＞1，
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第11讲 指数与对数的运算(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
