教材: 人教版2-3 第一章 编号:G2- 101 编写人: 临清二中 刘会志 审核人:
§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理答案
预习案
【知识汇总】
1．分类加法计数原理 [提示] 共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法． 2．分步乘法计数原理 [提示] 共有m1×m2×…×mn种不同的方法．
【自我尝试】
1.[解析] (1)× 在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．
(2)√ 在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．
(3)√ 在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同． (4)× 因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.C [由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．] 3.D [因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
4.16 [不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．
探究案
探究点1 利用分类加法计数原理解题
【例1】[解] 法一：分析个位数，可分以下几类：
个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；
同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有
8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出： 12,13,14,15,16,17,18,19， 23,24,25,26,27,28,29，
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34,35,36,37,38,39， 45,46,47,48,49， 56,57,58,59， 67,68,69， 78,79， 89.
共有36个符合题意的两位数．
【跟踪训练1】[解] 当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个． 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个． 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个． 同理可知，当个位数字是2时，共7个． 当个位数字是0时，共9个．
由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)． 探究点2 利用分步乘法计数原理解题
【例2】[解] 完成表示不同的圆这件事，可以分为三步： 第一步：确定a有3种不同的选取方法； 第二步：确定b有4种不同的选取方法； 第三步：确定r有2种不同的选取方法；
由分步乘法计数原理，方程(x－a)＋(y－b)＝r可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)．
【跟踪训练2】[解] 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式，有2种方式；
第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式，有3种方式．
由分步乘法计数原理得张涛共有2×3＝6种不同的理财方式． 探究点3 两个原理的综合应用
【例3】[解] (1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况： 第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法； 第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法． 根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法． (2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法． 第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．
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根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法． 【跟踪训练3】[解] (1)小明爸爸选凳子可以分两类： 第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法； 第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法． (2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．
训练案
【A基础练】
1.C [分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.]
2.B [先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.]
3.B [分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]
4.12 [经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．]
5.[解] (1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．
(2)分为三类：
第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法． 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法． 所以有10＋35＋14＝59种不同的选法． 【B达标练】
6.[解] (1)我方代表甲与对方握手4次，乙、丙也是各握手4次，共4＋4＋4＝12次． (2)我方代表甲有4种签约的可能．同样，乙、丙也有4种可能，完成签约看成分三步完成，
∴共有4×4×4＝64种签约结果．
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7.[解] 从O型血的人中选1人有28种不同的选法； 从A型血的人中选1人有7种不同的选法； 从B型血的人中选1人有9种不同的选法； 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．
有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
补充练习
1.A [每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，共有6＋4＝10种不同的选法．]
2.B [∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，
∴由乘法原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．]
3.C [根据直线与直线外一点可以确定一个平面，得：a上任一点与直线b确定一平面，共5个；b上任一点与直线a确定一平面，共8个，由分类加法计数原理得共有5＋8＝13个．]
4.A [先排第1轨道，有4种排法，第2,3,4,5轨道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．]
5.B [首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式．]
6.14 [法一：数字2只出现一次的四位数有4个；数字2出现两次的四位数有6个，数字2出现三次的四位数有4个．故总共有4＋6＋4＝14(个)．
法二：由数字2,3组成的四位数共有2＝16个．其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14(个)．]
7.42 [将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．]
8.17 [分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．]
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G2-101分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案
