两式相减可得an+1﹣an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝2an， 则an+1＝3an， 可得an＝a23
n﹣2
＝3，
n
上式对n＝1也成立， 则an＝3，n∈N*， bn＝log3an＝log33＝n，
＝n?（），
n
n
n
n
则前n项和Tn＝1?+2?+3?Tn＝1?+2?
+3?
+…+n?（），
n+1
+…+n?（），
n+1
相减可得Tn＝++
+…+（）﹣n?（）
n
＝﹣n?（）
n+1
，
化简可得Tn＝﹣由Tn+1﹣Tn＝﹣可得Tn≥T1＝， 而﹣
， ﹣+
＝
＞0，可得{Tn}为递增数列，
＜0，可得Tn＜，
综上可得≤Tn＜， 故答案为：≤Tn＜．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足：（a+b+c）（sinB+sinC﹣sinA）＝bsinC． （Ⅰ）求角A的大小；
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（Ⅱ）设a＝，S为△ABC的面积，求S+
2
2
2
cosBcosC的最大值．
【分析】（Ⅰ）运用正弦定理可得b+c﹣a＝﹣bc，再由余弦定理计算可得所求角； （Ⅱ）运用正弦定理求得b，c，由三角形的面积公式可得S，再由两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：（Ⅰ）（a+b+c）（sinB+sinC﹣sinA）＝bsinC， 由正弦定理可得
（a+b+c）（b+c﹣a）＝bc， 即（b+c）﹣a＝bc， 即为b+c﹣a＝﹣bc， 由余弦定理可得cosA＝由0＜A＜π，可得A＝（Ⅱ）a＝
＝
；
＝﹣，
2
2
22
2
，由正弦定理可得： ＝
＝
＝2，
可得b＝2sinB，c＝2sinC， 则S＝bcsinA＝S+＝
cosBcosC＝cos（B﹣C），
时，S+
cosBcosC的最大值为
．
sinBsinC， sinBsinC+
cosBcosC
当B＝C＝
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及余弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝2
，DE＝3
．
（Ⅰ）求证：面ACE⊥面BED；
（Ⅱ）求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M，使得二面角M﹣BE﹣D的大小为60°？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
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【分析】（Ⅰ）推导出DE⊥面ABCD，DE⊥AC，由ABCD是正方形，得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．由此能证明面ACE⊥面BED．
（Ⅱ）DA、DC、DE因为两两垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线CA与平面BEF所成角的正弦值．
（Ⅲ）点M在线段AF上，设M（3，0，t），0利用向量法能求出结果． 【解答】（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）因为面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD＝AD， DE?面ADEF，DE⊥AD，
所以DE⊥面ABCD．……………………（2分） AC?面ABCD，所以DE⊥AC，
又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD， DE∩BD＝D，DE?面BED，BD?面BED， 从而AC⊥平面BDE．……………………（3分）
又因为AC?面ACE，所以面ACE⊥面BED． ……………………（4分）
解：（Ⅱ）DA、DC、DE因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示． 则A（3，0，0），F（3，0，2（5分）
＝（3，﹣3，0），
＝（﹣3，﹣3，3
），
＝（3，0，﹣
），
），E（0，0，3
），B（3，3，0），C（0，3，0），…………
，求出平面MBE的法向量，
设平面BEF的法向量为＝（x，y，z）， 则（6分）
，取x＝
，得＝（
，2
，3），……………………
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所以cos＜，＞＝＝＝﹣．…………（7分）
所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为（Ⅲ）点M在线段AF上，设M（3，0，t），0则
＝（0，﹣3，t），
＝（﹣3，﹣3，3
．………………（8分）
．……………………（9分）
），
设平面MBE的法向量为＝（x，y，z），
则分） |cos＜
2
，令y＝t，得＝（3﹣t，t，3），……………………（10
＞|＝＝＝，………（11分）
整理得：2t﹣6解得t＝
或t＝
t+15＝0，
（舍），……………………（12分）
＝
故在线段AF上存在点M，使得二面角M﹣BE﹣D的大小为60°，此时．……………………（13分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查满足条件的眯是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该
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组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望． 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为
2
2
；
②若Z～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544．
【分析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数
．
（2）①P（14.55＜Z＜38.45）＝P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826， ②根据题意得X～B（4，
；
即可求得X的分布列、期望值．
【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为
．
（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ），且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P（14.55＜Z＜38.45）＝P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826， ∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826． ②根据题意得X～B（4，
； ；
∴X的分布列为
．
），
；
；
2
为
），
；
；
．
；
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2019-2020学年河南省洛阳市尖子生高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（9月份）
