- 2017-2018学年上海市静安区高一下学期期末数学试卷
一、填空题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分)
1．（5分）已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm，则该圆的半径为 cm． 2．（5分）方程3sinx﹣1＝0在区间（0，2π）的解为 ． 3．（5分）若
＝
，则sin2α的值为 ．
4．（5分）命题“数列的前n项和Sn＝3n+n（n∈N*）”成立的充要条件是 （填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n）
5．（5分）假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r，则r＝ （精确到0.1%） 6．（5分）已知数列{an}的通项公式an＝的n的最小值为 ．
7．（5分）函数y＝cosx（sinx﹣cosx）（x∈R）的最大值为 ．
8．（5分）如图，动点P在以O为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点M开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止，设点P的纵坐标y（米）关于时间t（分）的函数为y＝f（t）．则该函数的图象大致为 （请注明关键点）
（n∈N*），那么使得其前n项和Sn大于7.999
2
二、解答题（本题共4道小题，满分60分) 9．（15分）（1）设α≠kπ+
（k∈Z），直接用任意角的三角比定义证明：secα﹣tanα＝1．
，②cos（
）＝
）＝sinα．
．
2
2
（2）给出两个公式：①tanα＝
请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan（10．（15分）已知余切函数f（x）＝cotx．
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明） （2）求证：余切函数f（x）＝cotx在区间（0，π）上单调递减．
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11．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，对于n∈N*，（q﹣1）Sn＝qan﹣a1，其中q是常数． （1）试讨论：数列{an}在什么条件下为等比数列，请说明理由；
（2）设a1＝32，且对任意的n∈N*，bn＝log2an有意义，数列{bn}的前n项和为Tn，若T19＝19，求Tn的最大值．
12．（15分）如图是一景区的截面图，AB是可以行走的斜坡，已知AB＝2百米，BC是没有人行路（不能攀登）的斜坡，CD是斜坡上的一段陡峭的山崖．假设你（看做一点）在斜坡AB上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）．
（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡BC的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出BC的长，并化简； （2）设BC＝3百米，AC＝长．（精确到米）
百米，∠DBA＝
，∠BAD＝arccos
，求山崖CD的
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2017-2018学年上海市静安区高一下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分) 1．【考点】G7：弧长公式．
【解答】解：圆心角200°＝200×∵弧长为50＝∴r＝
πr，
＝π，
（cm），
cm．
即该圆的半径长故答案为：
．
【点评】本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，是基础题． 2．【考点】HV：反三角函数．
【解答】解：由3sinx﹣1＝0， 得sinx＝， ∴x＝2kπ+arcsin，
或x＝（2k+1）π﹣arcsin，k∈Z； ∴方程在区间（0，2π）的解为： x＝arcsin或x＝π﹣arcsin． 故答案为：arcsin或π﹣arcsin．
【点评】本题考查了三角函数方程的解法与应用问题，是基础题． 3．【考点】GS：二倍角的三角函数．
【解答】解：由＝，得，
∴
两边平方得：故答案为：
，则sin
，即sin2α＝﹣．
．
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，
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题． 4．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【解答】解：根据题意，设该数列为{an}，
若数列的前n项和Sn＝3n+n，则当n＝1时，a1＝S1＝4， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝6n﹣2， 当n＝1时，a1＝4符合an＝6n﹣2， 故有数列为等差数列且a1＝4，d＝6，
反之当数列为等差数列且a1＝4，d＝6时，an＝6n﹣2，Sn＝
22
＝3n+n；
2
故数列的前n项和Sn＝3n+n（n∈N*）”成立的充要条件是数列为等差数列且a1＝4，d＝6，
故答案为：数列为等差数列且a1＝4，d＝6．
【点评】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题． 5．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．
【解答】解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a，则10年后的国民生产总值为2a，
则有a（1+r%）＝2a， 即（1+r%）＝2， 解可得：r≈7.2， 故答案为：7.2．
【点评】本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于r的方程，属于基础题．
6．【考点】8E：数列的求和．
10
10
【解答】解：列{an}的通项公式an＝
（n∈N*），
则：，
所以：当即：当n＝13时，
，
时，
成立，
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即：n的最小值为13． 故答案为：13
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 7．【考点】HW：三角函数的最值．
【解答】解：函数y＝cosx（sinx﹣cosx）＝sin2x﹣cos2x﹣＝当sin（2x故答案为：
）＝1时，y取得最大值为．
．
sin（2x﹣）
【点评】本题考查三角函数的有界性，化简能力，考查转化思想以及计算能力． 8．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
【解答】解：设y＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+b，t≥0， ∴A＝1，T＝4，ω＝∴y＝f（t）＝sin（故答案为：
t﹣＝
，t＝0时，φ＝﹣），
，b＝0
【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换．属中档题． 二、解答题（本题共4道小题，满分60分) 9．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【解答】解：（1）证明：设α≠kπ+＝|OP|＝
2
2
（k∈Z），在α的中边上任意取一点P（x，y），r
，
2
2
secα﹣tanα＝﹣＝﹣＝＝1，即 secα﹣tanα＝1．
（2）证明：∵①tanα＝，②cos（）＝sinα．
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