动点问题专题训练
1、如图，已知△ABC中，AB?点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，B 都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
1.解：（1）①∵tAC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由CA D Q P C ?1秒，
∴BP?CQ?3?1?3厘米，
∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．
又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，
∴△BPD≌△CQP． ··························· （4分） ②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间t∴vQ?BP4?秒， 33?CQ515······················· （7分） ??厘米/秒．
4t43（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
15x?3x?2?10， 480解得x?秒．
380?3?80厘米． ∴点P共运动了3∵80?2?28?24，
由题意，得
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过
80秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ·············· （12分） 32、直线y3动点P、Q同时从O点出发，同时到达A??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，
4点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点
P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
y B 48（3）当S?时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为
5顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
2.解（1）A（8，0）B（0，6） ····· 1分 （2）QOA?8，OB?6
P x O Q A ?AB?10
Q点Q由O到A的时间是?点P的速度是
8?8（秒） 16?10?2（单位/秒） 1分 8当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ?t，OP?2t
S?t2 ···································· 1分
当P在线段BA上运动（或3?t≤8）时，OQ?t，AP?6?10?2t?16?2t,
PDAP48?6t，得PD?， ·········· 1分 ?BOAB51324?S?OQ?PD??t2?t ························ 1分
255如图，作PD?OA于点D，由
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）P?，? ································ 1分
?824??55???824??1224??1224?I1?，?，M2??，?，M3?，?? ·················· 3分
5??55??55??5
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、
B Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接．．
写出t的值．
5.解：（1）1，85；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4， 得
QF4?t5．∴QF?45t． ∴S?12(3?t)?45t， 即S??25t2?65t．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得AQAPAC?AB， 即
t3?3?t5． 解得t?98． ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得
AQAPAB?AC， 即t5?3?t153． 解得t?8． （4）t?52或t?4514． ①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
PC?t，QC2?QG2?CG2?[3(5?t)]2?[4?4(5?t)]255．
E Q D A P C 图16
B E Q D A P
C 图4
B Q D E A P C 图5
B
Q G D A P C(E) 图6 B Q G D C(E) 534由PC2?QC2，得t2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，解得t?．
255②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
34(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，t?45】
5514
6如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，?B?60°，BC?2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为?． （1）①当?? 度时，四边形为 ； ②当?? 度时，四边形为 ； （2）当?
6.解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分
（2）当∠α=90时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=90，∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分 在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60,BC=2,
∴∠A=30.
0
0
0
0
0
E O ? D l C EDBC是等腰梯形，此时AD的长A EDBC是直角梯形，此时AD的长
B C ?90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
A O B （备用图）
∴AB=4,AC=23. ∴AO=
1AC=3 . ……………………8分 20
在Rt△AOD中，∠A=30，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分
7如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长．
（2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
7.解：（1）如图①，过
∴KHA D N B M
C
A、D分别作AK?BC于K，DH?BC于H，则四边形ADHK是矩形
···························· 1分 ?AD?3．sin45??42．在Rt△ABK中，AK?ABg2?4 2BK?ABgcos45??42g2?4 ···················· 2分 2在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC?52?42?3
∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10 ················· 3分
A D
A D
N
B
K （图①）
H
C
B
G （图②）
M
C
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BG?AD?3 ∴GC?10?3?7 ··························· 4分 由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN
∴∠NMC?∠DGC 又∠C?∠C
∴△MNC∽△GDC CNCM?∴ ····························· 5分 CDCGt10?2t即? 5750解得，t? ····························· 6分
17（3）分三种情况讨论：
初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版
